التوزيع بالحصص: كبر المخزون بوحدة فخسر أصغر مستحق وحدته الوحيدة

ثلاثة مستحقين حصصهم 53 و42 و5 بالمئة من مخزون 10 وحدات صحيحة: 5 و4 و1 بقاعدة أكبر الكسور. ارفع المخزون إلى 11 فتذهب الوحدة الوحيدة لأصغر مستحق إلى الآخرين مع أن حصته لم تتغير. قرّب عند النصف على قاسم واحد فتبقى الوحدة.

نتيجة مباشرة

حين يرتفع المخزون من 10 إلى 11 بأكبر الكسور تُؤخذ الوحدة الوحيدة من ج مع أن حصته لم تتغير.

عند 10 وحداتأ 5 · ب 4 · ج 1
عند 11 وحدةأ 6 · ب 5 · ج 0
يخسر عند 11ج 1 إلى 0

لا يأخذ التقريب عند النصف وحدة من أي مستحق عبر المخزونات من 1 إلى 30.

المعطيات

تحدد الحصص الموجبة نصيب كل مستحق من المجموع.

المستحق 1
اسم المستحق 1أ
الحصة أ
المستحق 2
اسم المستحق 2ب
الحصة ب
المستحق 3
اسم المستحق 3ج
الحصة ج

لا تقلّ الصفوف عن 3 مستحقين.

مخزون الوحدات الصحيحة: مخزون الوحدات الصحيحة; عدد صحيح من 1 إلى 500.

قاعدة التوزيع: قاعدة التوزيع

الوحدات بيد كل مستحق مع نمو المخزون

الوحدات بيد المستحقالمخزون المكتوبوحدة مفقودة

الفجوة تدل على تعادل، والإطار على مستحق يخسر وحدة.

وحدة إضافية وقاعدتان

المستحق	أكبر الكسور عند 10	أكبر الكسور عند 11	تقريب النصف عند 10	تقريب النصف عند 11
أ	5	6	5	6
ب	4	5	4	4
ج	1	0	1	1

يترك التعادل التوزيع بلا حسم، ولا يقرر ترتيب الأسماء شيئًا.

ما تفعله القاعدتان

النصيب النسبي يعطي كل مستحق حصته الدقيقة من المخزون، لكن الوحدات الصحيحة لا تتبع كل كسر.

تعطي قاعدة أكبر الكسور الجزء الصحيح أولًا، ثم الباقي لأكبر الكسور، ومع نمو المخزون تتبدل مراتب الكسور فيتجاوز مستحقان ثالثًا مع أن الوحدة الجديدة واحدة.

يقسم التقريب عند النصف كل حصة على قاسم مشترك ويقرّب الناتج، وخفض القاسم يرفع المجموع حتى يساوي المخزون، فتتقدم النواتج كلها ولا يخسر مستحق وحدة.

خللان آخران في القاعدة نفسها

خلل المستحق الجديد، وفيه تنقل إضافة مستحق مع نصيبه من مخزون يكبر بقدره وحدةً بين المستحقين القائمين.

خلل النمو النسبي، وفيه تخسر الحصة الأسرع نموًا وحدة لصالح الأبطأ لأن ترتيب الباقي يقارن الكسور.

الحد الذي تتوقف عنده

المقارنة هنا بين قاعدتين معلنتين على حصصك، ولا اختيار فيها لتوزيع ولا ترتيب للمستحقين.

خطوات الحساب

المعادلات

النصيب النسبي حاصل ضرب نسبة الحصة من المجموع في المخزون:

q_i=\frac{c_i\,P}{\sum_j c_j}

حيث $q_i$ النصيب النسبي للمستحق الواحد، و $c_i$ حصته، و $P$ مخزون الوحدات الصحيحة، و $j$ يمر على كل المستحقين.

تُعطى الأجزاء الصحيحة أولًا، ثم الباقي لأكبر الكسور:

r_i=q_i-\lfloor q_i\rfloor

a_i=\lfloor q_i\rfloor+e_i,\qquad e_i\in\{0,1\},\qquad \sum_i e_i=P-\sum_i\lfloor q_i\rfloor

\begin{gathered}a_i=\lfloor q_i\rfloor+e_i, \\ e_i\in\{0,1\}, \\ \sum_i e_i=P-\sum_i\lfloor q_i\rfloor\end{gathered}

حيث $r_i$ الكسر و $a_i$ الوحدات بيد المستحق و $e_i$ واحد للكسر الفائز وصفر لغيره، والتعادل عند القطع يترك التوزيع بلا حسم.

قاسم واحد يجعل مجموع النواتج المقرّبة مساويًا للمخزون:

\sum_i\left\lfloor\frac{c_i}{d}+\frac{1}{2}\right\rfloor=P

حيث $d$ القاسم المشترك، ويُوجد بالتنصيف. للمجال الصالح توزيع واحد ويُذكر منتصفه، ويبقى التعادل عند النصف الحاسم بلا حل.

مثال محسوب

يخسر أصغر مستحق وحدته الوحيدة بأكبر الكسور ويحتفظ بها بالتقريب عند النصف: الحصص 53 و42 و5، والمخزون 10 ثم 11.

عند مخزون من 10 تكون الأنصبة:

q_A=\frac{53\times 10}{100}=5.3,\qquad q_B=\frac{42\times 10}{100}=4.2,\qquad q_C=\frac{5\times 10}{100}=0.5

\begin{gathered}q_A=\frac{53\times 10}{100}=5.3, \\ q_B=\frac{42\times 10}{100}=4.2, \\ q_C=\frac{5\times 10}{100}=0.5\end{gathered}

مجموع الأجزاء الصحيحة 9، وتبقى وحدة:

\lfloor 5.3\rfloor+\lfloor 4.2\rfloor+\lfloor 0.5\rfloor=5+4+0=9,\qquad 10-9=1

\begin{gathered}\lfloor 5.3\rfloor+\lfloor 4.2\rfloor+\lfloor 0.5\rfloor=5+4+0=9, \\ 10-9=1\end{gathered}

للمستحق الثالث أكبر كسر:

r_C=0.5>r_A=0.3>r_B=0.2,\qquad (a_A,a_B,a_C)=(5,4,1)

\begin{gathered}r_C=0.5>r_A=0.3>r_B=0.2, \\ (a_A,a_B,a_C)=(5,4,1)\end{gathered}

عند مخزون من 11 تكون الأنصبة:

q_A=\frac{53\times 11}{100}=5.83,\qquad q_B=\frac{42\times 11}{100}=4.62,\qquad q_C=\frac{5\times 11}{100}=0.55

\begin{gathered}q_A=\frac{53\times 11}{100}=5.83, \\ q_B=\frac{42\times 11}{100}=4.62, \\ q_C=\frac{5\times 11}{100}=0.55\end{gathered}

ما زال مجموع الأجزاء الصحيحة 9، وتبقى وحدتان:

\lfloor 5.83\rfloor+\lfloor 4.62\rfloor+\lfloor 0.55\rfloor=9,\qquad 11-9=2

\begin{gathered}\lfloor 5.83\rfloor+\lfloor 4.62\rfloor+\lfloor 0.55\rfloor=9, \\ 11-9=2\end{gathered}

يتجاوز الكسران الأولان الثالث:

r_A=0.83>r_B=0.62>r_C=0.55,\qquad (a_A,a_B,a_C)=(6,5,0)

\begin{gathered}r_A=0.83>r_B=0.62>r_C=0.55, \\ (a_A,a_B,a_C)=(6,5,0)\end{gathered}

عند مخزون 10، يصلح قاسم من نحو 9.64 إلى 10:

d=9.8:\qquad \left\lfloor\frac{53}{9.8}+\frac{1}{2}\right\rfloor=5,\qquad \left\lfloor\frac{42}{9.8}+\frac{1}{2}\right\rfloor=4,\qquad \left\lfloor\frac{5}{9.8}+\frac{1}{2}\right\rfloor=1

\begin{gathered}d=9.8: \\ \left\lfloor\frac{53}{9.8}+\frac{1}{2}\right\rfloor=5, \\ \left\lfloor\frac{42}{9.8}+\frac{1}{2}\right\rfloor=4, \\ \left\lfloor\frac{5}{9.8}+\frac{1}{2}\right\rfloor=1\end{gathered}

وعند مخزون 11، يُبقي قاسم من نحو 9.33 إلى 9.64 وحدةَ المستحق الثالث:

d=9.5:\qquad \left\lfloor\frac{53}{9.5}+\frac{1}{2}\right\rfloor=6,\qquad \left\lfloor\frac{42}{9.5}+\frac{1}{2}\right\rfloor=4,\qquad \left\lfloor\frac{5}{9.5}+\frac{1}{2}\right\rfloor=1

\begin{gathered}d=9.5: \\ \left\lfloor\frac{53}{9.5}+\frac{1}{2}\right\rfloor=6, \\ \left\lfloor\frac{42}{9.5}+\frac{1}{2}\right\rfloor=4, \\ \left\lfloor\frac{5}{9.5}+\frac{1}{2}\right\rfloor=1\end{gathered}

اعرض الحساب الكامل

إيجاد القاسم ومجاله الكامل

يعطي جمع النواتج المقرّبة مجموعًا لا يزيد كلما كبر القاسم:

T(d)=\sum_i\left\lfloor\frac{c_i}{d}+\frac12\right\rfloor

حيث

T(d)

مجموع الوحدات عند ذلك القاسم.

يبدأ البحث بقاسم أدنى يعطي المخزون على الأقل وقاسم أعلى لا يعطي أي وحدة:

\ell_0=\frac{\sum_i c_i}{P+N}\qquad h_0=2\max_i c_i+1\qquad T(\ell_0)\ge P\qquad T(h_0)=0

\begin{gathered}\ell_0=\frac{\sum_i c_i}{P+N} \\ h_0=2\max_i c_i+1 \\ T(\ell_0)\ge P \\ T(h_0)=0\end{gathered}

حيث

\ell

الحد الأدنى للبحث و

N

عدد المستحقين و

h

الحد الأعلى للبحث.

يُنصَّف مجال البحث الحالي:

m_t=\frac{\ell_t+h_t}{2}

حيث

m_t

القاسم المجرَّب و

t

خطوة البحث.

ويبقى النصف الذي يحصر آخر قاسم يعطي وحدات كافية:

(\ell_{t+1},h_{t+1})=\begin{cases}(m_t,h_t)&T(m_t)\ge P\\(\ell_t,m_t)&T(m_t)<P\end{cases}

يكرر النموذج هذه الخطوة 200 مرة. وإذا قفز المجموع متجاوزًا المخزون المطلوب عند حد نصف مشترك، يترك التعادل بلا حسم.

في توزيع محسوم، يجب أن يبقى ناتج القسمة داخل مجال تقريبه:

a_i-\frac12\le\frac{c_i}{d}<a_i+\frac12

وتقاطع هذه المجالات يعطي كل قاسم موجب يؤدي إلى التوزيع نفسه:

L=\max_i\frac{c_i}{a_i+\frac12}\qquad H=\min_{i:a_i>0}\frac{c_i}{a_i-\frac12}\qquad L<d\le H

\begin{gathered}L=\max_i\frac{c_i}{a_i+\frac12} \\ H=\min_{i:a_i>0}\frac{c_i}{a_i-\frac12} \\ L<d\le H\end{gathered}

حيث

L

الطرف الأدنى و

H

الطرف الأعلى. لا يفرض المستحق الذي لا يملك وحدة حدًا أعلى للقاسم. يُستبعد الطرف الأدنى لأن بلوغه يرفع أحد النواتج إلى الوحدة التالية، ويُقبل الطرف الأعلى وفق التقريب عند النصف.

داخل هذا المجال لا يعبر أي ناتج حدًا للتقريب، فيحتفظ كل مستحق بالعدد الصحيح نفسه، والمذكور هو المنتصف الداخلي:

d=\frac{L+H}{2}

تُقارن القيم إلى تسع منازل عشرية، ويبقى المجال المنهار بلا حسم.

للحصص المحسوبة عند مخزون 10، يكون المجال الدقيق ومنتصفه:

\frac{106}{11}<d\le10\qquad d=\frac{108}{11}\qquad (a_A,a_B,a_C)=(5,4,1)

\begin{gathered}\frac{106}{11}<d\le10 \\ d=\frac{108}{11} \\ (a_A,a_B,a_C)=(5,4,1)\end{gathered}

وعند 11، يعطي المجال التالي المخزون الأكبر ويُبقي وحدة أصغر مستحق:

\frac{28}{3}<d\le\frac{106}{11}\qquad d=\frac{313}{33}\qquad (a_A,a_B,a_C)=(6,4,1)

\begin{gathered}\frac{28}{3}<d\le\frac{106}{11} \\ d=\frac{313}{33} \\ (a_A,a_B,a_C)=(6,4,1)\end{gathered}

ويقع القاسمان المذكوران في ملخص الحساب داخل هذين المجالين.

ما لا يحسبه هذا النموذج

لا محاكاة للخللين الآخرين ولا أوزان للحصص ولا تنبؤات، والمقارنة إلى تسع منازل عشرية، والتعادل يبقى بلا حسم.

ما يفحصه المسح

تُفحص القاعدتان من 1 إلى المخزون المكتوب زائد 20، وتسمّي النتيجة أول خسارة عنده أو بعده. تتجنب قواعد القاسم الخلل بأنواعه الثلاثة، وينفرد التقريب عند النصف بعدم محاباة كبار المستحقين أو صغارهم في المتوسط، ولا تجمع قاعدة بين التزام النصيب والاتساق مع تغير الحصص.

المصادر

نمو المخزون والنمو النسبي وحصانة قواعد القاسم والتقريب غير المنحاز وحدود النصيب والقسمة التناسبية مشروحة في Michel Balinski and H. Peyton Young, Fair Representation.

المقياس: وحدات صحيحة، خطي
الأساس: تُحسب القاعدتان عند كل حجم صحيح للمخزون من 1 إلى المخزون المكتوب زائد 20، من الحصص المكتوبة وحدها
الافتراضات: تبقى الحصص ثابتة مع نمو المخزون، ولا يقرر ترتيب كتابة الصفوف شيئًا
إصدار النموذج: 1.0.0

يُطبع السجل كاملًا، ويستطيع متصفحك حفظه بصيغة PDF بدل طباعته.

تقارن الأرقام حصصك بقاعدتين، ولا تثبت حقًا لأحد، ولا توصي بتوزيع ولا بقاعدة.

سجل التوزيع بالحصص