المعاينة بالقبول: لا يضع النجاح سقفًا للعيوب

قد تنجح دفعة فيها 5.0% من الوحدات المعيبة في فحص 200 وحدة، مع أن النسبة المرجعية في المثال 2.5% فقط. ويكشف عدد القبول سبب ذلك، إذ يسمح المثال بظهور 10 وحدات معيبة في العينة قبل أن تتجاوز النتيجة الحد المكتوب.

خطة العينة ومنحنى قبولها

يقبل سحب عينة عشوائية دون إرجاع، حجمها 200 من 5,000 وحدة وبحد قبول 10 للوحدات المعيبة، نسبة 58.3% من الدفعات ذات 5.0% وحدات معيبة، فيكون القبول أرجح من الرفض

حجم العينة

أكبر عدد وحدات معيبة يسمح بالقبول

يحسب احتمال القبول فرصة ألا يتجاوز عدد الوحدات المعيبة في العينة العشوائية الحد المعلن، بافتراض تركيب محدد للدفعة وحالتين لكل وحدة: معيبة أو سليمة.

تضم الدفعة المؤلفة للمثال 5,000 وحدة، والنسبتان المرجعيتان فيه 2.5% و5.0%.

احتمال القبول، %

المحور الأفقي: الوحدات المعيبة في الدفعة، %

نقاط محددة على المنحنى

تركيب الدفعة	احتمال القبول
125 وحدة معيبة، 2.5%	98.9%
250 وحدة معيبة، 5.0%	58.3%
أول عدد يصبح احتمال قبوله 10.0% أو أقل	378 من 5,000 وحدة، بنسبة 7.6%

لماذا يرجح قبول الدفعة نفسها بعينة حجمها 200 ويرجح رفضها بعينة حجمها 500، إذا سمحت الخطتان بظهور 10 وحدات معيبة فقط؟

يترك العدد المسموح مجالًا للوحدات المعيبة

تصف نتيجة النجاح العينة التي فُحصت، أما نسبة الوحدات المعيبة فتصف الدفعة كلها، بما فيها الوحدات التي لم يرها الفاحص، وتربط آلية السحب بين الكميتين دون أن تجعلهما شيئًا واحدًا. فعند تثبيت عدد المعيب في الدفعة تختلف أعداد الوحدات المعيبة في العينات العشوائية، فتقبل الخطة بعضها وترفض الباقي، ويبيّن المنحنى حصة العينات المقبولة عند كل تركيب مفترض للدفعة.

تضم حالة البداية 5,000 وحدة وتسحب منها 200 وحدة دون إرجاع ما سُحب، وتعني النسبة المرجعية 2.5% وجود 125 وحدة معيبة في الدفعة، لا في العينة وحدها. ويصبح متوسط عدد الوحدات المعيبة في العينة 5، بينما يسمح المثال بظهور 10 قبل تجاوز حد القبول، فيفسّر الفرق بين المتوسط والحد احتمال النجاح البالغ 98.9% عند تركيب الدفعة المفترض

تضاعف نسبة الوحدات المعيبة إلى 5.0% متوسط العدد في العينة ليصبح 10، لكن المتوسط لا يعني أن كل عينة تقف عند هذا العدد، فبعض العينات يحتوي أقل وبعضها أكثر. ويدخل العدد 10 ضمن النتائج المقبولة فيبلغ مجموع احتمالاتها 58.3%، لذلك تظل الدفعة أرجح قبولًا من رفضها رغم تضاعف النسبة، ويفترق نجاح العينة عن سقف مضمون لعدد المعيب في الدفعة.

ثبّت الدفعة التي تحتوي على 5.0% وحدات معيبة وحد القبول عند 10، ثم ارفع حجم العينة إلى 500، فيصبح متوسط عدد الوحدات المعيبة فيها 25 ويقل ظهور 10 أو أقل. ويبلغ احتمال القبول نحو 0.000270، أي أقل من 0.1%، وقد تغيّر حجم العينة وحده دون تغيير الدفعة أو طريقة الفحص، فالمقارنة تصف أثر العددين ولا تختار إحدى الخطتين

حالة صغيرة يمكن عدّ نتائجها

تضم دفعة مؤلفة للمثال 200 وحدة منها 10 معيبة، وتسحب الخطة 20 وحدة وتسمح بوحدة معيبة واحدة، فلا يدخل في القبول إلا غياب المعيب أو ظهور وحدة واحدة. ويجوز جمع احتمالي الحالتين لأن العينة الواحدة لا تحمل العددين معًا، فيأتي إجمالي القبول من نتيجتين منفصلتين واضحتين.

المحور الأفقي: احتمال القبول، %

نتيجة العينة	احتمال القبول، %
بلا وحدات معيبة	34.0%
وحدة معيبة واحدة	39.7%
مجموع المقبول	73.7%

يختار الحد الأول الوحدات المفحوصة كلها من 190 وحدة سليمة، ويختار الثاني وحدة معيبة من 10 ويكمل العينة بسحب 19 وحدة من السليم، ويستعمل الحدان المقام نفسه. ويعدّ هذا المقام كل مجموعة ممكنة من 20 وحدة داخل الدفعة، لذلك يأتي الحساب من عدد العينات الممكنة دون محاكاة، وتعطي الأعداد نفسها النتيجة نفسها في كل مرة.

قد تكبر الدفعة دون أن تشتد الخطة

تثبت هذه المقارنة الخطة عند عينة حجمها 200 وحد قبول 10، وتثبت نسبة المعيب عند 5.0%، ثم تكبّر الدفعة من 500 إلى 100,000 وحدة دون زيادة الفحص. ويتحرك احتمال القبول من 58.7% إلى 58.3% فقط، وتظل الحالات الخمس أرجح قبولًا، فقد زاد حجم الدفعة 200 مرة بينما بقي عدد الوحدات التي تكشف عنها العينة كما هو.

حجم الدفعة بمقياس لوغاريتمي واحتمال القبول بمقياس خطي

المحور الأفقي: حجم الدفعة
المحور الرأسي: احتمال القبول، %

حجم الدفعة	احتمال القبول
500	58.7%
1,000	58.4%
5,000	58.3%
10,000	58.3%
100,000	58.3%

يؤثر حجم الدفعة حين يفحص القارئ جزءًا كبيرًا منها، ويظهر الحد الأوضح في الفحص الشامل، إذ تزول عشوائية السحب عندما تمر جميع الوحدات على الفحص وتُعرف النتيجة من العدد. وتثبت النقاط الخمس نتيجة محددة لهذه الخطة وهذه الدفعات، فلا تعمم إهمال حجم الدفعة على كل خطة، ويرفض الحساب عينة تتجاوز المجتمع بدل تحويلها ضمنًا إلى فحص شامل.

الأعداد التي تكوّن المنحنى

عدّ العينات المقبولة

يرمز N لحجم الدفعة وD لعدد المعيب فيها وn لحجم العينة وc لأكبر عدد وحدات معيبة يسمح بالقبول، ويرمز k لعدد الوحدات المعيبة في عينة واحدة. ويفترض الحساب تساوي فرص اختيار كل مجموعة بحجم العينة، مع عدم إرجاع أي وحدة بعد فحصها.

P(X\le c)=\sum_{k=\max(0,n-N+D)}^{\min(c,n,D)}\frac{\binom{D}{k}\binom{N-D}{n-k}}{\binom{N}{n}}

E[X]=nD/N

D_{10}=\min\{D:P(X\le c)\le0.10\}

3 خطوات مسماة لقيم البداية

1. تركيب الدفعة: $5{,}000\times0.05=250$ وحدة معيبة

2. متوسط العينة: $\frac{200\times250}{5{,}000}=10$ وحدات معيبة

3. النتائج المقبولة: مجموع احتمالات الأعداد من 0 إلى 10 يساوي $\sum_{k=0}^{10}P(X=k)=0.583215555215$ ، ويظهر بنسبة 58.3%.

يبلغ احتمال القبول 0.100668940974 عند 377 وحدة معيبة، وينخفض إلى 0.098851640015 عند 378، فيكون العدد الأخير أول عدد صحيح يصل إلى 0.10 أو أقل. وتساوي نسبته $\frac{378}{5{,}000}=0.0756$ .

حالة صغيرة يمكن عدّ نتائجها

P(X=0)=\frac{\binom{10}{0}\binom{190}{20}}{\binom{200}{20}}=0.339774376237

P(X=1)=\frac{\binom{10}{1}\binom{190}{19}}{\binom{200}{20}}=0.397396931271

P(X\le1)=0.339774376237+0.397396931271=0.737171307508

أساس الحساب

يشرح NIST/SEMATECH e-Handbook في القسم 6.2 منحنيات احتمال القبول، وتشتق الصفحة أعدادها من التوزيع فوق الهندسي بأمثلة مؤلفة لها، دون اختيار خطة جاهزة. ويُذكر ISO 2859-1 وANSI/ASQ Z1.4 بوصفهما عائلتين لخطط الفحص، دون نقل جداول منهما أو تعيين خطة على أساسهما.

الأساس: سحب عشوائي متساوي الفرص دون إرجاع، من دفعة محدودة مؤلفة للمثال
الافتراضات: عددان من سجل الفحص، مع مسح تركيب الدفعة دون استنتاجه
إصدار النموذج: 1.0.0

يُطبع السجل كاملًا، ويستطيع متصفحك حفظه بصيغة PDF بدل طباعته.

يحسب هذا احتمال قبول العينة العشوائية المعلنة، ولا يختار خطة فحص ولا يحكم على دفعة مورّدة.

سجل احتمال القبول

يستعمل السجل القيم الظاهرة عند الطباعة.

الأعداد المكتوبة والدفعة المفترضة

حجم العينة: 200
أكبر عدد وحدات معيبة يسمح بالقبول: 10
حجم الدفعة المؤلفة للمثال: 5,000

النتيجة المشروطة

خطوات الحساب المرقمة

1. تركيب الدفعة: 5,000 × 0.05 = 250 وحدة معيبة

2. متوسط عدد الوحدات المعيبة في العينة: 200 × 250 / 5,000 = 10.00

3. النتائج المقبولة: مجموع احتمالات الأعداد الممكنة التي لا تتجاوز 10 يساوي 0.583215555215، ويظهر بنسبة 58.3%

إصدار النموذج

1.0.0

تاريخ السجل

يحسب هذا احتمال قبول العينة العشوائية المعلنة، ولا يختار خطة فحص ولا يحكم على دفعة مورّدة.

خطة العينة ومنحنى قبولها

يترك العدد المسموح مجالًا للوحدات المعيبة

حالة صغيرة يمكن عدّ نتائجها

قد تكبر الدفعة دون أن تشتد الخطة

الأعداد التي تكوّن المنحنى

عدّ العينات المقبولة

3 خطوات مسماة لقيم البداية

حالة صغيرة يمكن عدّ نتائجها

أساس الحساب

صفحات مرتبطة

سجل احتمال القبول

الأعداد المكتوبة والدفعة المفترضة

النتيجة المشروطة

خطوات الحساب المرقمة

إصدار النموذج

تاريخ السجل