محاكاة مونت كارلو: جولة واحدة تُقنع، وتبقى حكاية

شغّل جولة واحدة من سلسلة تأخير من مرحلتين وشاهدها تنتهي في يوم بعينه، فيبدو ذلك اليوم كأنه الجواب. كرّر التجربة نفسها بجانبها فيمتلئ المدرّج التكراري وتضيق كلما زادت الجولات، أما الجولة التي شاهدتها فتبقى حيث وقعت.

نتيجة مباشرة

انتهت جولة واحدة من هذه التجربة في 4 أيام، وجولة واحدة لا تحمل أي فترة ثقة.

المرحلة الأولى، المستنداتيوم واحد
المرحلة الثانية، الطريق3 أيام
المتوسط الحقيقي للتجربة6.75 أيام

وعيّنة من واحد ليس فيها ما يُقاس عليه تشتت، وذلك المتوسط معروف فقط لأن التجربة صغيرة بما يكفي لعدّها يدويًا.

المحور الأفقي: أيام حتى الإنجاز
المحور الرأسي: نسبة الجولات

الجولة التي شاهدتها

كل جولات التجربة نفسها

متوسط جولة واحدة · 4.00. المتوسط الحقيقي · 6.75. جولة واحدة، فلا فترة ثقة

الجولة التي شاهدتها	4 أيام
متوسط الجولات	4.00 يومًا
فترة الثقة 95%	لا شيء، جولة واحدة
	لا شيء، جولة واحدة
تشتّت الجولات	لا شيء، جولة واحدة
المتوسط الحقيقي	6.75 يومًا

جرّب حالة

البذرة

عدد الجولات1

ما تشتريه البذرة وما لا تشتريه

تشتري لك البذرة القدرة على إعادة تشغيل الجولة نفسها، ولا شيء غير ذلك، فمن كتب العدد نفسه حصل على السحوبات نفسها والنتيجة نفسها والصورة نفسها، على أي جهاز، اليوم وبعد سنة. والجولة التي لا يستطيع أحد إعادة إنتاجها لا تُفحص ولا تُناقش ولا تُقارن بتغيير أدخلته على النموذج، وتُكتب البذرة في المدخلات وتُسجّل مع تفاصيل النموذج.

أما ما لا تشتريه فهو الدليل، لأن إعادة إنتاج جولة تستعيد مسارًا واحدًا داخل النموذج ولا تقول شيئًا عن المسارات التي لم يسلكها هذه المرة. وقابلية إعادة التشغيل والدليل شيئان مختلفان، ويسهل أن تشعر أن الأول سلّمك الثاني لأن الجولة القابلة للإعادة لها ملمس الحقيقة. والبذرة هنا مطبوعة ومكتوبة بيدك لا مخبّأة، ويبقى الرقم تحتها حكاية.

وتعتمد إعادة الإنتاج أيضًا على توزيع السحوبات، فالبذرة لا تُعيد إنتاج الجولة إلا إذا كان كل جزء من النموذج يسحب من تدفّق معلن، لأن إضافة سحبة واحدة في موضع واحد تزيح كل ما بعدها. وفي هذا النموذج مرحلتان وتدفّقان، وتفاصيل النموذج تذكر الاثنين. أما البذرة المطبوعة بلا خريطة تدفّقاتها فوعد يكفّ عن الصدق بهدوء أول مرة يتغيّر فيها النموذج.

لماذا فترة الثقة والتشتّت سؤالان مختلفان

يتشابه رقمان في هذه الصفحة ويجيبان عن سؤالين متعاكسين. فتشتّت الجولات، وهو نحو 2.4 يومًا هنا، يصف التجربة نفسها، أي مقدار اختلاف شحنة عن التي تليها، ولا يكاد يتحرك مهما زادت الجولات لأنه حقيقة عن العالم لا عن جهدك. أما نصف عرض فترة الثقة فيصف تقديرك أنت، أي دقّة تثبيتك للمتوسط، وهو يتقلّص مع الجذر التربيعي لعدد الجولات.

والخلط بينهما أغلى خطأ متاح هنا، ففترة تمتد من 6.5 إلى 7 أيام لا تعني أن الشحنات تصل بين 6.5 و7 أيام. والشحنات في هذا النموذج تصل بين 3 أيام و12 يومًا، وواحدة من كل 16 تستغرق 12 يومًا، فالفترة قول عن المتوسط، والعميل لا يستلم متوسطًا.

وأيّهما يهم يتوقف على السؤال. فإن كان القرار عن إجمالي سنة من الشحنات فالمتوسط هو الذي يحكم القرار، وفترة الثقة هي ما يستحق التضييق. وإن كان القرار وعدًا عن شحنة واحدة فتضييق الفترة لا يحسّن شيئًا يشعر به العميل، والرقم الذي يُنظر إليه هو ذيل المدرّج لا الشريط فوقه.

خطوات الحساب

الأساس: سلسلة تأخير من مرحلتين
التوزيع: المرحلة 1 {1,2,3,5}، المرحلة 2 {2,3,4,7}، بأوزان متساوية
البذرة: 4021
عدد التكرارات: جولة واحدة
إصدار النموذج: 1

المعادلة بالكلمات

الجولة الواحدة مشاهدة واحدة، لا جواب. تسحب كل جولة قيمتين وتجمعهما، فتنتج زمن إنجاز واحدًا من 10 أزمنة ممكنة. ولا تحمل الجولة الواحدة أي معلومة عن تشتّت الجولات الأخرى، فلا يُبنى منها تقدير ولا فترة ثقة.
متوسط العيّنة هو التقدير، ونصف عرض الفترة هو مقدار دقته. يُحسب متوسط العيّنة وانحرافها المعياري من الجولات. ثم يُقسم الانحراف المعياري على الجذر التربيعي لعدد الجولات فيعطي الخطأ المعياري، ويُضرب في معامل t عند 95%.
ضرب الجولات في 4 ينصّف الفترة. ينزل الخطأ المعياري مع الجذر التربيعي لا مع العدد نفسه، ولذلك تنزل الفترة من 1.02 إلى 0.48 ثم إلى 0.24 يومًا عند 25 و100 و400 جولة، فيكون 16 ضعف الحساب مقابل ربع الفترة.
التشتّت ليس فترة الثقة. يصف الانحراف المعياري اختلاف الشحنات بعضها عن بعض، ولا يتقلّص بزيادة الجولات، أما فترة الثقة فتصف دقّة تقديرك للمتوسط وحده، فالأول عن العالم والثاني عن عملك.

مستقلتان، لكل مرحلة تدفّق خاص
تبدأ كل جولة فارغة
تكتمل المرحلتان

مثال محلول

تُحسب التجربة باليد، فتعطي المرحلة 1 متوسطًا مقداره $\frac{1+2+3+5}{4}=2.75$ يومًا، وتعطي المرحلة 2 متوسطًا مقداره $\frac{2+3+4+7}{4}=4.00$ يومًا، فيبلغ متوسط زمن الإنجاز 6.75 يومًا. والسحبتان مستقلتان، فيجمع الحساب التباينات $2.1875 + 3.5 = 5.6875$ ، ويخرج التشتّت الحقيقي $\sqrt{5.6875} = 2.3848$ يومًا، والرقمان مضبوطان لا محاكاة وراءهما.

في الجولة الواحدة عند البذرة 4021، يعطي التدفّق A القيمة 0.090384، ومنها $\lfloor0.090384\times4\rfloor=0$ ، فتستقر المرحلة 1 على يوم واحد. ويعطي التدفّق B القيمة 0.315320، ومنها $\lfloor0.315320\times4\rfloor=1$ ، فتستقر المرحلة 2 على 3 أيام، وتنتهي السلسلة في 4 أيام.

تقع 4 أيام تحت المتوسط الحقيقي بمقدار 2.75 يومًا، أي أقل بنسبة 41% وبمقدار 1.15 من التشتّت الحقيقي. وليست جولة شاذة، فمن كل 1,000 جولة تنتهي 192 جولة في 4 أيام أو أقل. وهي جولة عادية إلى هذا الحد، تراها مرة واحدة فتخرج برقم أقل من الحقيقة بنسبة 40%.

	$n = 25$	$n = 100$	$n = 400$
متوسط العينة	5.96	6.35	6.71
الانحراف المعياري للعينة	2.47	2.44	2.48
الخطأ المعياري، $\frac{\mathrm{sd}}{\sqrt{n}}$	$2.47 \div 5 = 0.4949$	$2.44 \div 10 = 0.2443$	$2.48 \div 20 = 0.1241$
معامل t	2.064	1.984	1.966
نصف عرض الفترة	$2.064 \times 0.4949 = 1.02$	$1.984 \times 0.2443 = 0.48$	$1.966 \times 0.1241 = 0.24$
فترة الثقة	4.94 إلى 6.98	5.87 إلى 6.83	6.47 إلى 6.96
تضم 6.75	نعم	نعم	نعم

يُرصد القانون مرتين، فالانتقال من 25 جولة إلى 100 يجعل العمل 4 أضعاف فينزل نصف عرض الفترة من 1.02 إلى 0.48 بمعامل 2.11، والانتقال من 100 إلى 400 يضاعفه 4 مرات أخرى فينزل من 0.48 إلى 0.24 بمعامل 1.99. فضرب الجولات في 4 ينصّف الفترة، ولا يعطي التكرار وحده أفضل من ذلك. أما الانتقال من 25 جولة إلى 400 فهو 16 ضعفًا من العمل مقابل ربع الفترة، وقد حرّك متوسط العينة من 5.96 إلى 6.71 فقط، ولم يكن التقدير هو ما يتحسّن بسرعة.

وتبقى الجولة التي شاهدتها في موضعها طوال الوقت، إذ تضم فترة الثقة المتوسط الحقيقي 6.75 عند أعداد الجولات الستة كلها، وتقف الجولة التي شاهدتها عند 4 أيام في كل واحد منها، خارج كل فترة من $n=25$ جولة فصاعدًا. فلم تكن الجولة خاطئة ولم تكن دليلًا، والفشلان مختلفان، ولا تصلح زيادة الجولات إلا الثاني منهما.

ولا تحرّك البذرة الجواب، فالبذرة 31337 تسحب في جولتها الأولى 0.704391 و0.929328، فتعطي 3 أيام و7 أيام وزمن إنجاز 10 أيام، أي أعلى من المتوسط الحقيقي بنسبة 48%، بينما كانت البذرة 4021 أقل منه بنسبة 41%. والجولتان اللافتتان، 4 أيام و10 أيام، تختلفان بمعامل 2.5 وتأتيان من النموذج نفسه. وعند 1,000 جولة تعطي البذرتان متوسطين 6.67 و6.74، وتمتد فترتاهما من 6.52 إلى 6.81 ومن 6.59 إلى 6.89، وكلتاهما تضم 6.75. فغيّر البذرة تتغيّر الحكاية كلها، ويبقى الجواب في مكانه.

تحقق بنفسك

اكتب 31337 في البذرة وأبقِ عدد الجولات عند واحدة، فتنتهي الجولة الأولى في 10 أيام بدل 4، وهي التجربة نفسها لم يتغيّر فيها شيء. ثم ارفع الجولات إلى 1,000 بالبذرتين، فيعطي 4021 متوسطًا 6.67 ويعطي 31337 متوسطًا 6.74، وتضم الفترتان 6.75، فتتغيّر الحكاية ولا يتغيّر الجواب.

ما لا يحسبه هذا النموذج

لا يحسب النموذج الاعتماد بين المرحلتين، وهو مكوّن في النموذج لا حاشية تحته، ويعلنه النموذج مستقلًا لأنه مستقل فعلًا. ولا يشمل الحساب صدمة مشتركة تؤخّر المرحلتين معًا، والسحب المستقل يقلّل من قدرها. ولا يقيس تباين العينة شيئًا من عدم اليقين في بنية النموذج ولا في النتائج الأربع داخل كل مجموعة، ولا يخفّض ذلك عددٌ من الجولات مهما بلغ. ويترك الحساب خفض التباين بكل صوره، من طرق تقليل التباين، وكل واحدة منها تشتري الدقّة بأرخص مما يشتريها التكرار ولا تظهر واحدة منها هنا. ويترك الأعداد العشوائية المشتركة والمقارنة المزدوجة بين سياستين، وهي الصفحة التالية طبيعيًا، وقد ترفع التباين بدل أن تخفضه إذا جاء الاقتران في الاتجاه الخاطئ. ويترك الإحماء والحالة المستقرة وأي تصميم لا ينتهي، فهذه التجربة تنتهي باكتمال المرحلتين. ويترك التوزيعات المتصلة والعائلات المطابَقة وسؤال أي عائلة تسندها البيانات، ويترك أي شحنة أو مسار أو عملية أو تكلفة حقيقية، فلا تصف هذه التجربة شيئًا من ذلك.

في أي دراسة حقيقية يكون المتوسط مجهولًا، ولهذا تبقى فترة الثقة هي التقرير الأمين الوحيد. والمولّد والبذرة والتدفّقان مذكورة كلها، فكل جولة هنا يمكن إعادة إنتاجها بالضبط.

مخزون الأمان: التباين يغلب المتوسطيذكر مورّدان مدة توريد قدرها 30 يومًا، والرقم واحد على الورق. تصل شحنات أحدهما في نافذة أوسع فيرتفع مخزون الأمان عنده وحده، لأن الاحتياطي يغطي تفاوت الوصول لا المتوسط المعلن.درس تفاعلي · دقيقتان الارتباط: كل تقدير صادق، والمجموع يتأخّرثماني مهام متتابعة قُدّرت كل منها 8 و10 و16 يومًا مجموعها 80. فإن استقلّت انتهت 4 جولات من 5 داخل مهلة 96 يومًا، وإن ارتبطت كلها لم تنتهِ، ولم يتغيّر تقدير واحد.درس تفاعلي · 3 دقائق