مغالطة المتوسطات: متوسط الإجابات ليس الإجابة عند المتوسط

في 22 أو 30 أو 38 يومًا ومتوسط المدد 30، فيُحسب على المتوسط وحده وتظهر التكلفة 7,200 دولار. وحين تُحسب المدد الثلاث كلها على المنحنى نفسه يبلغ متوسط التكلفة 9,000 دولار، والفارق كله من أخذ المتوسط قبل الحساب لا بعده.

نتيجة مباشرة

متوسط التكاليف الثلاث $9,000، أي أكثر بمقدار $1,800 من تكلفة متوسط المدة.

متوسط المدة30 يومًا
التكلفة عند متوسط المدة$7,200

والمسافة بين الجوابين يحددها موضع الانحناء داخل المدى الذي أمامك.

جرّب حالة

المنحنى والإجابتان عليه

المحور الأفقي: المدة، بالأيام
المحور الرأسي: التكلفة، بالدولار

لوحات ثابتة

الانحناء عند 20 يومًا، قبل المدد الثلاث · الفارق 0 دولار

الانحناء عند 26 يومًا · الفارق 1,800 دولار

الانحناء عند 30 يومًا، عند المتوسط · الفارق 3,600 دولار

الانحناء عند 40 يومًا، بعد المدد الثلاث · الفارق 0 دولار

المدد التي كتبتها	22 · 30 · 38 يومًا
الأوزان	25% · 50% · 25%
متوسط المدة	30 يومًا
التكلفة عند متوسط المدة	$7,200
متوسط التكاليف الثلاث	$9,000
الفارق	$1,800، أي 25.0%

اليوم الذي تبدأ عنده التكلفة26يومًا

متوسط المدة30يومًا

بُعد المدتين الأخريين عن المتوسط8يومًا

موضع الثقل

تكلفة كل يوم بعد ذلك

اكتب أرقامك بعملة واحدة أيًّا كانت، فالحساب لا يتغير.

الفارق بحسب موضع الانحناء

المحور الأفقي: موضع بداية التكلفة، بالأيام
المحور الرأسي: الفارق، بالدولار
الأساس: الفارق هو متوسط التكاليف الثلاث ناقص التكلفة عند متوسط المدة.
الافتراضات: المدد الثلاث والأوزان كما ضبطتها، ومعدّل يومي ثابت، والانحناء وحده هو المتغيّر على هذا المحور

ما لا يعنيه متوسط الإجابات

متوسط الإجابات ليس هو الإجابة، بل متوسط 3 إجابات، ولو كتبت مدة رابعة لتحرّك.

والفارق يقيس الانحناء وحده، فمنحنى لا انحناء فيه داخل المدى الذي أمامك يعطي الرقم نفسه في الاتجاهين، ومنحنى ينحني عند متوسطك بالضبط يعطي أوسع فارق ممكن هنا. والسؤال الحقيقي إذن أين يقع الانحناء في عملك، وهو رقم لم يكتبه أحد في الغالب.

ويفترض الحساب أيضًا أن 3 مدد تنوب عن المدد كلها، وأن الأوزان معلومة، وأن تكلفة اليوم لا تتغير بعد أن تبدأ، وأن اليوم المبكر لا قيمة له، ولا يصح شيء من ذلك. ولهذا فالفارق أدناه بداية نقاش عن الانحناء لا نهايته.

خطوات الحساب

المقياس: تشترك اللوحات الثابتة الأربع في مقياس واحد ثابت، من 16 إلى 44 يومًا ومن 0 إلى 45,000 دولار، أما الرسم المباشر فوقها فمقياسه يتغير مع ما تكتبه.
الأساس: تُقرأ الإجابتان على المدد الثلاث نفسها وعلى المنحنى نفسه.
الافتراضات: مدد ثلاث لا أكثر، وأوزان تُبقي المتوسط حيث ضبطته، وانحناء واحد ومعدّل واحد، ولا شيء آخر على المنحنى
إصدار النموذج: 1.0

المعادلة بالكلمات

أخذ المتوسط خطوة، وتطبيق المنحنى خطوة أخرى نفّذ الخطوتين بترتيبهما تحصل على التكلفة عند متوسط المدة، واعكس الترتيب تحصل على متوسط التكاليف. والخط المستقيم وحده يحتمل تبديل الخطوتين من غير أن تتغير النتيجة، فمتى ظهر انحناء صار للترتيب أثر.
الانحناء هو المسألة كلّها قبل يوم الانحناء لا تُحتسب تكلفة، وبعده يُحتسب مبلغ ثابت عن كل يوم، وهذه الزاوية وحدها تصنع كل ما بعدها. فالحساب على المتوسط يحمّل المدة القصيرة تكلفة أيام لا تجري فيها، أما متوسط الإجابات فلا يحمّلها شيئًا.
للفارق معادلة دقيقة، وشكله مثلث اضرب المعدّل اليومي في وزن كل مدة طرفية، ثم في الأصغر من مسافتين، المسافة من المدة الدنيا إلى الانحناء، أو من الانحناء إلى المدة العليا، وخارج هاتين المدتين يكون الناتج صفرًا. ويبلغ الفارق ذروته حين يقع الانحناء عند المتوسط، ولا يدخل وزن الوسط في الحساب.
متوسط المدة لا يتحرّك تحمل المدتان الطرفيتان الوزن نفسه دائمًا، فتوسيع المدى أو نقل الثقل إلى الأطراف يغيّر تكاليف المدد الثلاث ولا يغيّر متوسطها، وهو صف المتوسط الذي يثبت في الجدول بينما تتحرك صفوف التكاليف الثلاث فوقه.

l=c-s

حيث

l

المدة الدنيا، و

c

متوسط المدة، و

s

الاتساع.

h=c+s

حيث

h

المدة العليا.

C(d)=r\times\max(0,d-b)

حيث

C(d)

التكلفة عند أي مدة، و

r

المعدّل اليومي، و

d

المدة، و

b

الانحناء.

C(c)=r\times\max(0,c-b)

حيث

C(c)

التكلفة عند متوسط المدة.

\bar C=w_l C(l)+w_c C(c)+w_h C(h)

حيث

\bar C

متوسط التكاليف الثلاث، و

w_l

وزن المدة الدنيا، و

C(l)

التكلفة عند المدة الدنيا، و

w_c

وزن الوسط، و

w_h

وزن المدة العليا، و

C(h)

التكلفة عند المدة العليا.

\Delta C=\bar C-C(c)

حيث

\Delta C

الفارق.

\Delta C=r\times w_l\times\min(\max(0,b-l),\max(0,h-b))

مثال محلول

القيم النقدية بالدولار، والمدد بالأيام.

المدة الدنيا

l = 30 - 8 = 22

ومتوسط المدة

c=30

والمدة العليا

h = 30 + 8 = 38

ومتوسط المدد الثلاث

0.25 \times 22 + 0.50 \times 30 + 0.25 \times 38 = 5.5 + 15 + 9.5 = 30

التكلفة عند المدة الدنيا:

C\left(22\right)=0

والتكلفة عند متوسط المدة

C\left(30\right) = 1,800 \times \max\left(0,30 - 26\right) = 1,800 \times 4 = 7,200

والتكلفة عند المدة العليا:

C\left(38\right)=21,600

الأيام بعد الانحناء عند المدة الدنيا

\max\left(0,22 - 26\right) = 0

وعند متوسط المدة

\max\left(0,30 - 26\right) = 4

وعند المدة العليا

\max\left(0,38 - 26\right) = 12

متوسط التكاليف الثلاث:

0.25 \times 0 + 0.50 \times 7,200 + 0.25 \times 21,600 = 9,000

الفارق

9,000 - 7,200 = 1,800

ونسبته إلى الحساب على متوسط المدة

\frac{1,800}{7,200} = 25.0\%

متوسط الأيام المحتسبة

0.25 \times 0 + 0.50 \times 4 + 0.25 \times 12 = 5

أيام

والرصيد الذي يمنحه المتوسط

0.25 \times 4 = 1

والدالة التي ترفض هذا الرصيد

\max(0,\ldots)

والفارق بالأيام:

5 - 4 = 1

وبالمال

1\ \text{d}\times1,800=1,800

الصيغة المغلقة، ولا بد أن تتفق مع ما سبق:

\begin{aligned}\Delta C={}&1,800 \times 0.25\\&\times\min\left(\max\left(0,26 - 22\right),\max\left(0,38 - 26\right)\right)\\={}&450 \times \min\left(4,12\right)\\={}&450 \times 4 = 1,800\end{aligned}

ذروة المثلث عند انحناء 30

1,800 \times 0.25 \times 8 = 3,600

والحساب على متوسط المدة عندها

C\left(30\right) = 1,800 \times \max\left(0,30 - 30\right) = 0

ومتوسط التكاليف الثلاث عندها

0.25 \times 1,800 \times 8 = 3,600

والفارق عند انحناء 22

450 \times \min\left(0,16\right) = 0

وعند انحناء 38

450 \times \min\left(16,0\right) = 0

ووزن الوسط

w_c

لا يظهر في الصيغة المغلقة

فالفارق عند التوزيع المتساوي

450 \times 4 = 1,800

وعند الأطراف

1,800 \times 0.40 \times 4 = 2,880

وعند الوسط

1,800 \times 0.15 \times 4 = 1,080

متساوٍ 1,800 · الأطراف 2,880 · الوسط 1,080

تحقق بنفسك

اضبط الانحناء على 30 يومًا ليقع عند متوسط المدة بالضبط، فيعطي الحساب على المتوسط صفرًا بينما يبلغ متوسط التكاليف الثلاث 3,600 دولار. وحساب يقول إن الخطة لا تكلّف شيئًا هو أوضح صورة لهذه الحجّة، وفي اللوحات الصغيرة تحت الرسم يقع أوسع فارق عند هذا الموضع نفسه.

ما لا يحسبه هذا النموذج

لا يحسب النموذج أي منحنى غير انحناء واحد ومعدّل واحد، ولا تكلفة تكبر بطول التأخير، ولا تكلفة تتوقف عند حد أعلى، ولا أكثر من 3 مدد، ولا أوزانًا غير متماثلة، ولا ارتباط المدة بغيرها، ولا عدم اليقين في موضع الانحناء نفسه، ولا قيمة الوصول المبكّر، ولا أن أغلب النتائج في الواقع تنحني أكثر من مرة.

الحجّة في هذه الصفحة مصدرها كتاب Sam L. Savage، The Flaw of Averages، وهي موصوفة هنا ولا يُنقل منها نص، ويسمّي الشكل نفسه Hopp وSpearman في طوابير الانتظار، وCachon وTerwiesch في المخزون، وMeredith وMantel في تواريخ الإنجاز. وما عدا ذلك حساب على الأرقام التي تكتبها، فمنحنى التكلفة شكل اختير ليكون قابلًا للمراجعة لا نموذجًا لعقد بعينه، والمدد الثلاث مددك أنت لا بيانات جاهزة.