نموذج بائع الصحف: تطلب مرة واحدة، والطلب لا يساوي المتوسط

طلبية واحدة أمام طلب لن تراه إلا مرة واحدة، فاكتب ما تكلّفك الوحدة الفائضة وما تكلّفك الوحدة الناقصة. تظهر لكل كمية في جدولك فاتورتها ومعها الكميتان اللتان تحيطان بالكمية التي كنت ستختارها، وليس المتوسط واحدة منهما.

نتيجة مباشرة

طلب 500 وحدة يكلّف 39,240 في المتوسط، وإحدى الكميتين المجاورتين تكلّف أقل.

الكمية الأدنى بخطوة400 وحدة
تكلفة الكمية الأدنى66,240
الكمية الأعلى بخطوة600 وحدة
تكلفة الكمية الأعلى27,240
الخطوة التالية بالوحدات100
ما تفعله الخطوة بالفاتورةتنخفض الفاتورة بمقدار 12,000

وكم تحرّك الخطوة التالية الفاتورة يتبع موضع احتمالاتك في الجدول.

جرّب حالة

ما تكلّفه كل كمية

المحور الأفقي: الكمية التي تطلبها، بالوحدات
الوحدات: مقرّبة إلى أقرب عدد صحيح، والكميات وحدات صحيحة

الكمية المختارة	500 وحدة
	39,240
الوحدات المباعة في المتوسط	445 وحدة
الفائض في المتوسط	55 وحدة
النقص في المتوسط	68 وحدة
	60%

الكمية التي تختارها500وحدة

كم تكلّفك الوحدة الفائضة

اكتب أرقامك بعملة واحدة أيًّا كانت، فالحساب لا يتغيّر.

كم تكلّفك الوحدة الناقصة

الطلب الذي تشتري له

جرّب شكلًا للطلب

أدنى طلب في الجدولوحدة

الفرق بين صف وآخروحدة

200 احتمال%

300 احتمال%

400 احتمال%

500 احتمال%

600 احتمال%

700 احتمال%

800 احتمال%

مجموع احتمالاتك 100%.

ما تفعله الخطوة التالية

المحور الأفقي: الكمية التي تطلبها، بالوحدات
الأساس: كل عمود هو مقدار تغيّر ذلك المتوسط من صف في جدولك إلى الصف التالي
الوحدات: مقرّبة إلى أقرب عدد صحيح، وبإشارة مقابل الصف الأدنى
الافتراضات: يثبت السعران عند كل كمية

الدرج والنسبة الحرجة

الأساس: مثال ثابت بالقيم الأصلية، وتبلغ الكمية الأخيرة 100% دائمًا
الوحدات: حصة من احتمالات المثال، مقرّبة إلى أقرب نسبة صحيحة
الافتراضات: تثبت الاحتمالات السبعة والسعران عند قيم المثال الأصلي

النسبة الحرجة

سعراك يصنعان واحدة، فيكون النقص 0.80 من مجموع 480 و120. وتقع هذه النسبة على الدرج عند 600، وهي أول كمية يبلغ عندها احتمال تغطية الطلب تلك النسبة.

هذا وصف لجدولك أنت لا تعليمات، فليس هنا ما يعرف إن كان لديك مكان لـ115 وحدة، ولا إن كانت السيولة متوفرة هذا الربع، ولا إن كان المورّد يقبل تجزئة الطلبية، ولا إن كان 480 هو فعلًا ما يكلّفك النقص. ثم إن النسبة تتحرك بسلاسة والدرج لا يتحرك معها، فبين 180 و480 للوحدة الناقصة لا يتغيّر الصف الذي تقع عليه النسبة، وذلك معلوم قبل أي خلاف على المنزلة العشرية الثانية.

أين لا تنطبق هذه الصفحة

هذه الصفحة لكمية تلتزم بها مرة واحدة، طلبية واحدة ونافذة واحدة، وما من فرصة لطلبية ثانية داخلها قبل أن تعرف كم كان الطلب. ومثالها قطع غيار تصل مع المعدة، وخط يُبنى لموسم واحد، ودفعة تُصنع لمناسبة واحدة، وصنف يقفل مورّده الباب في تاريخ معلوم.

أما إذا كان بإمكانك الطلب مرة أخرى داخل النافذة فلا ينطبق شيء من هذا الحساب، وعندها تُحسم الكمية بنقطة إعادة الطلب وحجم الدفعة، ويصبح الفائض الذي تسعّره هنا رصيد أول الشهر القادم.

خطوات الحساب

المعادلة بالكلمات

سعران يحكمان هذه المقارنة، وسعر شراء الوحدة ليس واحدًا منهما. ينظر الحساب إلى ما يتغيّر عندما تضيف وحدة واحدة، فإما أن تبقى الوحدة بعد انقضاء النافذة فتكلّفك ما دفعته بعد طرح ما تسترده، وإما أن تغيب حين تُطلب فتكلّفك أثر غيابها. أما التكلفة التي تدفعها مع كل كمية فلا تغيّر المقارنة.
تجمع فاتورة الكمية متوسطين متوقعين. لكل صف يُعدّ الفائض والنقص، ثم يُرجَّح الرقمان باحتمال الصف ويسعّرهما بالسعرين ويجمعهما. ولا يدخل الإيراد هنا، لأن المقارنة بين الكميات لا تعيد بناء قائمة دخل.
لا يفوز إلا صف من الجدول. تتغيّر الفاتورة بالمقدار نفسه لكل وحدة بين صفين متجاورين، فيكون الخط مستقيمًا بلا انحناء داخل الفجوة، وتقع أدنى نقطة للخط المستقيم عند أحد طرفيه. ولذلك يقع الاختيار على صف من صفوف الجدول، ولا يختبئ فيه أي تقريب.
الخطوة والنسبة حقيقة واحدة. الصعود صفًا واحدًا يكلّفك سعر الفائض في كل نتيجة عند موضعك أو تحته، ويوفّر لك سعر النقص في كل نتيجة فوقه، فإذا تساوى الرقمان ظهرت النسبة الحرجة. وتنعطف الخطوة عند الموضع نفسه الذي يتجاوز فيه الاحتمال التراكمي تلك النسبة.
تقع النسبة على درجة، ولذلك تقفز الكمية. تتحرك النسبة بسلاسة ولا يتحرك الدرج معها، فقد يقع سعران مختلفان للنقص على الصف نفسه، وقد ينقل تغيّر صغير الموضع صفًا كاملًا. والسلوكان نتيجة صريحة لجدول فيه 7 صفوف.

مثال محلول

الجدول كما تبدأ به الصفحة. يحمل الجدول 7 صفوف، وبين كل صفين 100 وحدة، من 200 إلى 800، ومع كل صف احتمال مكتوب.

الطلب	الاحتمال	التراكمي	مساهمته في المتوسط
200	5%	5%	10
300	10%	15%	30
400	20%	35%	80
500	25%	60%	125
600	20%	80%	120
700	12%	92%	84
800	8%	100%	64

يبلغ مجموع الاحتمالات 100%، فلا يحتاج الجدول الأصلي إلى إعادة قياس. ويجمع الحساب مساهمات الصفوف فتكون $10 + 30 + 80 + 125 + 120 + 84 + 64 = 513$ وحدة، فمتوسط الطلب 513 وحدة، والطلب لا يساوي 513 أبدًا.

السعران. تدفع عن الوحدة 180 وتسترد من الفائض 60، فتبلغ تكلفة الوحدة الفائضة $180 - 60 = 120$ ، وتبلغ تكلفة الوحدة الناقصة 480، فتكون النسبة الحرجة $480 \div (480 + 120) = 0.80$ .

كمية واحدة كاملة، 600 وحدة. يبلغ الفائض المرجّح

\begin{aligned}&(600-200)\times 0.05\\&+(600-300)\times 0.10\\&+(600-400)\times 0.20\\&+(600-500)\times 0.25\\&=20+30+40+25=115\end{aligned}

وحدة، ويبلغ النقص المرجّح

(700-600)\times 0.12 + (800-600)\times 0.08 = 12 + 16 = 28

وحدة، فيكون المبيع

513 - 28 = 485

وحدة. ويثبت الفحصان أن

485 + 115 = 600

وأن

485 + 28 = 513

، وتبلغ الفاتورة

120 \times 115 + 480 \times 28 = 13{,}800 + 13{,}440 = 27{,}240

الدرج بكل صفوفه السبعة.

الكمية	الفائض	النقص	تكلفة الفائض	تكلفة النقص	الفاتورة	الخطوة التالية
200	0	313	0	150,240	150,240	−45,000
300	5	218	600	104,640	105,240	−39,000
400	20	133	2,400	63,840	66,240	−27,000
500	55	68	6,600	32,640	39,240	−12,000
600	115	28	13,800	13,440	27,240	0
700	195	8	23,400	3,840	27,240	+7,200
800	287	0	34,440	0	34,440	لا خطوة

فحص الخطوات بالمعادلة. تُحسب كل خطوة على أنها

100\times(600F-480)

، حيث

F

الاحتمال التراكمي، وهو نفسه

100\times600\times(F-0.80)

. عند 500 يبلغ التراكمي 0.60، فتكون الخطوة

100 \times 600 \times (0.60 - 0.80) = -12{,}000

، وتطابق

39{,}240 - 12{,}000 = 27{,}240

فاتورة الصف التالي. وعند 600 يبلغ التراكمي 0.80، فتساوي الخطوة صفرًا وتتساوى فاتورتا 600 و700. وعند 700 يبلغ التراكمي 0.92، فتكون الخطوة

100 \times 600 \times 0.12 = 7{,}200

، وتطابق

27{,}240 + 7{,}200 = 34{,}440

فاتورة 800.

موضع النسبة والتعادل الذي تصنعه. يبلغ الاحتمال التراكمي 0.80 لأول مرة عند 600 وحدة، ولهذا تتساوى الفاتورتان عند 600 و700، وكلتاهما 27,240. ولا يفضّل الحساب إحداهما، فالفرق 80 وحدة فائضة إضافية في المتوسط مقابل 20 وحدة أقل من النقص، وينهي الحساب عمله هنا ويعيد القرار إلى صاحبه.

ما يكلّفه المتوسط. أقرب صف إلى متوسط الطلب هو 500 وحدة، وتبلغ فاتورته 39,240 مقابل 27,240 عند الصفين اللذين تبلغهما النسبة، فيكبر الفرق بمقدار 12,000، أي 44%. أما معاملة التنبؤ كأنه يقين فمعناها شراء 513 وبيع 513 من غير أي فاتورة، ولا يحمل أي صف فاتورة صفرية، وأدنى فاتورة في الجدول 27,240.

كم يتحرك السعر قبل أن يتحرك الصف. تبقى النسبة عند 600 وحدة حين تبلغ تكلفة الوحدة الفائضة 120، وتزيد تكلفة الوحدة الناقصة على $120 \times 0.60 \div 0.40 = 180$ ولا تتجاوز $120 \times 0.80 \div 0.20 = 480$ . فتقع كل قيمة من 181 إلى 480 على الصف نفسه، ويمتد النطاق إلى أكثر من 2.5 ضعف.

الخدمة نتيجة وليست مدخلًا. يبلغ احتمال تغطية الطلب 35% عند 400 وحدة، و60% عند 500، و80% عند 600. وتبلغ نسبة تلبية الطلب $1 - \frac{133}{513} = 74.1\%$ عند 400، و $1 - \frac{68}{513} = 86.7\%$ عند 500، و $1 - \frac{28}{513} = 94.5\%$ عند 600. ولم يكتب أحد مستوى خدمة، وإنما خرج المستويان من الحساب.

المتوسط نفسه في 3 أشكال.

الشكل	الاحتمالات من 200 إلى 800	المتوسط	صف النسبة	الفاتورة عنده
كما هو مكتوب	5, 10, 20, 25, 20, 12, 8	513	600	27,240
أضيق	2, 6, 20, 38, 21, 9, 4	513	600	20,640
بذيل أطول	5, 10, 22, 26, 16, 9, 12	513	700	29,640

يرتفع التراكمي في الشكل الأضيق عبر 2 و8 و28 و66 و87 و96 و100، فتقع 0.80 عند 600 وتبلغ الفاتورة $120 \times 104 + 480 \times 17 = 12{,}480 + 8{,}160 = 20{,}640$ ، وتنخفض الفاتورة بمقدار 6,600 مع بقاء السعرين. ويرتفع التراكمي في الشكل ذي الذيل الأطول عبر 5 و15 و37 و63 و79 و88 و100، فتتجاوز 0.80 صف 600 بنقطة واحدة وتقع عند 700، وتبلغ الفاتورة هناك $120 \times 199 + 480 \times 12 = 23{,}880 + 5{,}760 = 29{,}640$ . فالمتوسط واحد في الجداول الثلاثة، والجواب مختلف.

ما لا يحسبه هذا النموذج

لا يشمل الحساب قيمة يستردها الفائض بغير السعر المكتوب، مثل موسم ثان أو نقل إلى موقع آخر أو استخدام في ضمان. ولا يشمل نقصًا تتغيّر تكلفته مع حجمه أو مدته، ولا استبدال صنف بآخر، ولا خسارة عميل بسبب النقص. ولا يشمل فرصة لالتزام ثان داخل النافذة، ولا خصم كمية، ولا حدًا أدنى للطلب، ولا تقريبًا إلى منصة أو حاوية، ولا حجم دفعة يفرضه المورّد. ولا يختبر الحساب مصدر الاحتمالات السبعة، وهي المدخل الأثقل والأضعف دليلًا. فقد يغيب الذيل عن تاريخ قصير، وقد يجعل الاتجاه الفترات القديمة غير قابلة للمقارنة، وقد يخفي التنبؤ المقرّب حكمًا لا يمكن مناقشته. ويغيب كذلك أثر تكلفة مأخوذة من توزيع محاسبي لا من نقد فعلي، فهي تحرك الحساب لأسباب لا تخص القرار.

تحقق بنفسك

اضبط شكل الطلب على أضيق ثم على بذيل أطول، فيبقى متوسط الطلب 513 وحدة في الجداول الثلاثة ولا يتحرك السعران، وينتقل صف النسبة عبر 600 ثم 600 ثم 700، وتبلغ الفاتورة عنده 27,240 ثم 20,640 ثم 29,640، فلم يتغيّر المتوسط وتغيّر الجواب. ثم افحص التطابقين عند 600 وحدة، حيث يعرض الجدول 485 وحدة مباعة و115 وحدة فائضة و28 وحدة ناقصة، فيساوي $485 + 115$ الكمية المطلوبة 600 ويساوي $485 + 28$ متوسط الطلب 513.

الأساس: كل فاتورة هي المتوسط المرجّح على النتائج السبع في جدولك، بالاحتمالات التي كتبتها
الافتراضات: طلبية واحدة، ولا إعادة طلب داخل النافذة، والفائض يكلّف ما كتبته والنقص يكلّف ما كتبته
إصدار النموذج: 1.0

يُحسب هنا من الأرقام التي تكتبها فقط، ولا توصية هنا بكمية. الحساب رياضيات معيارية لمسألة الطلبية الواحدة، مكتوبة هنا بعبارة مستقلة، ومصادرها مذكورة بالاسم دون نقل أي نص منها. وأضعف مدخل فيها هو الاحتمالات السبعة، فهي تقدير، والنتيجة لا تصير أدق من التقدير الذي بُنيت عليه. المصادر هي: كتاب Cachon وTerwiesch، Matching Supply with Demand، الطبعة 4، وكتاب Chopra، Supply Chain Management، الطبعة العالمية 7، الفصل 13، وكتاب Hillier وLieberman، Introduction to Operations Research، القسمان 7.5 و13.9، وكتاب Sam L. Savage، The Flaw of Averages.

مستوى الخدمة: ما تكلّفه النسبة الأخيرة منهترفع السياسة مستوى الخدمة من 90% إلى 95% فيزيد مخزون الأمان خطوة واحدة، ويشتد المنحنى قرب طرفه. والانتقال من 99% إلى 99.9% يضيف أكثر من ضعف تلك الخطوة، مع أنه يخفض خطر النفاد إلى عُشره لا إلى الصفر.درس تفاعلي · 4 دقائق نقطة إعادة الطلب: أي أرقام المخزون الأربعة تقارنه السياسةلا تغطي نقطة إعادة الطلب إلا استهلاك مدة التوريد، وحين تقول 95% فأنت تقول رقمين، لأن النقطة تحت خدمة الدورة ليست هي نفسها تحت نسبة التلبية. مرّر حركاتك حركة حركة وراقب المتاح والمطلوب وصافي المخزون ووضع المخزون وهي تفترق، فالسياسة تقارن بواحد منها فقط.حاسبة · 4 دقائق