صيغة كينغمان: طلب إضافي واحد يضاعف مدة الانتظار

إصدار النموذج

1.0

يثبت الإطلاق عند وحدة عمل واحدة، وتستخدم المقارنة دفعات من 10.

المعادلة بالكلمات

• الانتظار حاصل ضرب 3 عوامل: تفاوت العمل، وإشغال الخط، ومدة الطلب. وهذه معادلة Kingman للطوابير، وترد بصيغة VUT في كتاب Hopp وSpearman، Factory Physics، وهي تقريب لا أكثر، يصلح في النطاق المرسوم.
• يقيس معامل التفاوت تشتت الوصول والعمل بقسمة الانحراف المعياري على المتوسط، فهو مقياس نسبي. وتمثل إعدادات الوصول القيم 0.25 و1.0 و2.0، أما إعدادات العمل فتمثل 0.25 و0.75 و1.5.
• يقسم الحساب الإشغال على السعة المتبقية، فتكون النتيجة 1 عند 50%، ثم 9 عند 90%، و19 عند 95%، و99 عند 99%، وهذا هو المنعطف، إذ يصنع الكسر وحده الارتفاع غير الخطي.
• مدة العمل في الطلب تضرب أثر التفاوت والإشغال، فإذا نقص وقت العمل إلى النصف نقص الانتظار إلى النصف ما دامت بقية القيم ثابتة.
• تغير الخطوط الإضافية شكل العلاقة لا حجمها وحده، فالطلب الذي يصل في لحظة مزدحمة يأخذه أول خط يتاح.
• تضيف الدفعات انتظارًا مستقلًا عن الازدحام، فلا ينتظر أول طلب في دفعة من 10 طلبات شيئًا وينتظر آخرها عمل 9 طلبات، ومتوسط ذلك 4.5 طلب. ولذلك تغير الدفعات الرسم الثاني وحده، إذ لا تزيد إشغال المنضدة.
• يفصل الحساب بين احتمال الانتظار ومدته، فيعطي Erlang C احتمال انشغال الخطوط كلها عند وصول أسّي وعمل أسّي، ومتوسط الانتظار مقسومًا على ذلك الاحتمال هو متوسط الانتظار بين الطلبات التي تنتظر فعلًا.

مثال محلول

تصل 18 طلبًا يوميًا إلى منضدة واحدة، ويستغرق كل طلب 24 دقيقة خلال يوم عمل من 8 ساعات، فتنجز المنضدة $8 \div 0.4 = 20$ طلبًا يوميًا ويبلغ إشغالها 90%. ويعطي الوصول المعتاد مع العمل المعتاد معامل تفاوت مقداره $(1.0^{2} + 0.75^{2}) \div 2 = 0.78125$، ويعطي الإشغال معاملًا مقداره $0.9 \div 0.1 = 9$، فينتظر الطلب $0.78125 \times 9 \times 0.4 = 2.81$ ساعة ثم يكتمل بعد 3.21 ساعة، وبقانون Little يكون في النظام $2.25 \times 3.21 = 7.2$ طلبًا في أي لحظة. ثم يصل طلب إضافي كل يوم فيرتفع الإشغال إلى 95% وتصبح مدة الانتظار 5.94 ساعة، أي أن العمل زاد 5.6% والانتظار ارتفع 111%. وفي خط واحد يساوي Erlang C الإشغال، فيكون احتمال الانتظار 90.0% وتكون مدة انتظار الطلب الذي ينتظر $2.81 \div 0.90 = 3.12$ ساعة، ومع خطين يصبح الاحتمال 27.9% ومتوسط الانتظار 0.0893 ساعة والمدة المشروطة 0.3197 ساعة، أي 19.2 دقيقة.

تحقق بنفسك

أبقِ الحمل كما هو واضبط الوصول على «بانتظام»، فينخفض معامل التفاوت من 0.78125 إلى 0.3125 وتهبط مدة الانتظار من 2.81 إلى 1.13 ساعة على المنضدة نفسها وبحجم العمل نفسه. ثم اضبط الوصول على «على دفعات» فترتفع المدة إلى 8.21 ساعة، وحجم العمل ثابت في الحالات الثلاث.

ما لا يحسبه هذا النموذج

لا تدخل الأولويات والتعجيل في المعادلة، وتغيب عنها الأعطال وتغيير التجهيز ووقت الإعداد، بما فيه الوفر الذي قد تصنعه الدفعة الكبيرة في إعداد كل طلب. ولا تحسب تكتل الوصول في الخطوة التالية، ولا امتلاء منطقة الانتظار حتى توقف ما قبلها، ولا تغير الحمل خلال اليوم. ولا تحسب الناس، وهم يسرعون حين يرون الطابور. ولا يحمل احتمال Erlang C أشكال التفاوت المختارة، إذ يفترض وصولًا أسّيًا وعملًا أسّيًا، بينما يبقى في متوسط الانتظار عاملا التفاوت من معادلة Kingman.