مسار توصيل مشترك: كل مقطع يُحمَّل على من يحتاج إلى قطعه

خمس محطات تتقاسم طريقًا واحدًا. اقسم الفاتورة على المسافة فتدفع أقرب محطة 6.29 عن طريق لا يحتاج إليه غير البعيدة، وحمّل كل مقطع على من يحتاج إلى قطعه فتدفع 4. ويبقى مجموع الحصص هو الفاتورة 110.

نتيجة مباشرة

تدفع المحطة أ 6.29 بالمسافة و4.00 بالمقاطع عن الطريق نفسه.

أ4.00 بالمقاطع6.29 بالمسافة
ب6.50 بالمقاطع9.43 بالمسافة
ج26.50 بالمقاطع28.29 بالمسافة
د31.50 بالمقاطع31.43 بالمسافة
هـ41.50 بالمقاطع34.57 بالمسافة
تدفع أكثر بالمسافة3 من 5
أكبر زيادة على التكلفة المنفردةأ، 11.4%

مجموع حصص المقاطع 110.00، ولا تدفع محطة أكثر من تكلفتها منفردة.

المعطيات

جرّب طريقًا

كل مسافة تبدأ من المحطة السابقة، والأولى من المستودع.

محطة 1
الاسم 1أ
المسافة أكم
محطة 2
الاسم 2ب
المسافة بكم
محطة 3
الاسم 3ج
المسافة جكم
محطة 4
الاسم 4د
المسافة دكم
محطة 5
الاسم 5هـ
المسافة هـكم

تكلفة الكيلومتر ذهابًا: 1.00; تتغير المبالغ كلها بنسبة هذه التكلفة، ولذلك ثُبّتت.

طريق واحد وحصتان لكل محطة

بالمقاطعبالمسافةمنفردة

الأعمدة على مقياس تكلفة واحد، فأطوالها قابلة للمقارنة مباشرة.

كل محطة على القاعدتين

المحطة: أ
البعد بالكيلومتر: 10
منفردة: 20.00
بالمقاطع: 4.00
بالمسافة: 6.29
الفرق: 2.29

المحطة: ب
البعد بالكيلومتر: 15
منفردة: 30.00
بالمقاطع: 6.50
بالمسافة: 9.43
الفرق: 2.93

المحطة: ج
البعد بالكيلومتر: 45
منفردة: 90.00
بالمقاطع: 26.50
بالمسافة: 28.29
الفرق: 1.79

المحطة: د
البعد بالكيلومتر: 50
منفردة: 100.00
بالمقاطع: 31.50
بالمسافة: 31.43
الفرق: -0.07

المحطة: هـ
البعد بالكيلومتر: 55
منفردة: 110.00
بالمقاطع: 41.50
بالمسافة: 34.57
الفرق: -6.93

المحطة	البعد بالكيلومتر	منفردة	بالمقاطع	بالمسافة	الفرق
أ	10	20.00	4.00	6.29	2.29
ب	15	30.00	6.50	9.43	2.93
ج	45	90.00	26.50	28.29	1.79
د	50	100.00	31.50	31.43	-0.07
هـ	55	110.00	41.50	34.57	-6.93

الفرق الموجب يعني أن القسمة بالمسافة تحمّل أكثر، والقاعدتان تقسمان الفاتورة نفسها قبل التقريب.

خطوات الحساب

طريقتان لقسمة الطريق

بُعد المحطة عن المستودع مجموع المسافات التي تسبقها:

D_i=\sum_{k=1}^{i} g_k

حيث

D

البعد عن المستودع و

i

ترتيب المحطة و

g

مسافة المقطع و

k

ترتيبه.

خدمة محطة وحدها تحتاج إلى الذهاب والعودة:

C(i)=2cD_i

حيث

C

تكلفتها منفردة و

c

تكلفة الكيلومتر.

تبلغ الجولة أبعد محطة ثم تعود:

C(N)=2cD_n

حيث

N

مجموعة المحطات و

n

عددها.

يقتسم المقطعَ بالتساوي كلُّ من يحتاج إلى قطعه:

x_i=\sum_{k=1}^{i}\frac{2c\,g_k}{n-k+1}

حيث

x

حصة المحطة بالمقاطع.

أما القسمة بالمسافة فتوزع الفاتورة بنسبة بُعد كل محطة:

y_i=C(N)\cdot\frac{D_i}{\sum_{j=1}^{n} D_j}

حيث

y

حصتها بالمسافة و

j

محطة ضمن المجموع.

حصص المقاطع تستوفي الفاتورة:

\sum_{i=1}^{n} x_i=C(N)

ولا تتجاوز حصةٌ تكلفةَ محطتها منفردة:

x_i\le C(i)

الفرق بين الحصتين هو ما تضيفه القسمة بالمسافة:

e_i=y_i-x_i

حيث

e

ذلك المبلغ الإضافي.

لماذا القسمة بالمقاطع

متوسط ما تضيفه المحطة من تكلفة على جميع ترتيبات الانضمام هو قيمة شابلي، وهو هنا حصتها بالمقاطع نفسها. ولا يحتاج إلى المقطع إلا من يقع عنده أو بعده، فتحميل هؤلاء تكلفته يستوفي الفاتورة ويُبقي حصة كل محطة ضمن تكلفتها المنفردة.

مثال محسوب

أقرب محطة لا تحتاج إلا إلى المقطع الأول، والمحطات الأبعد تشاركها فيه وتدفع عن بقية الطريق.

عند مسافات 10 و5 و30 و5 و5 كيلومترات وتكلفة كيلومتر قدرها 1، تكون الفاتورة:
$C(N)=2\cdot 1\cdot 55=110$
تتقاسم المحطات الخمس المقطع الأول:
$x_1=\frac{2\cdot 1\cdot 10}{5}=4$
وتتقاسم 4 محطات الثاني:
$x_2=4+\frac{2\cdot 1\cdot 5}{4}=6.5$
و3 محطات الثالث:
$x_3=6.5+\frac{2\cdot 1\cdot 30}{3}=26.5$
ومحطتان الرابع:
$x_4=26.5+\frac{2\cdot 1\cdot 5}{2}=31.5$
ولا تحتاج إلى الأخير إلا الأبعد:
$x_5=31.5+\frac{2\cdot 1\cdot 5}{1}=41.5$
وتستوفي الحصص الفاتورة:
$4+6.5+26.5+31.5+41.5=110$
مجموع الأبعاد عن المستودع:
$\sum_j D_j=10+15+45+50+55=175$
تدفع أقرب محطة بالمسافة:
$y_1=110\cdot\frac{10}{175}=\frac{44}{7}$
أي 6.29، مقابل 4 بالمقاطع.
وتدفع الأبعد:
$y_5=110\cdot\frac{55}{175}=\frac{242}{7}$
أي 34.57، مقابل 41.5 بالمقاطع.
الزيادة على أقرب محطة:
$e_1=\frac{44}{7}-4=\frac{16}{7}$
أي 2.29 إلى المنزلة الثانية.
وتكلفتها منفردة:
$C(1)=2\cdot 1\cdot 10=20$
فالزيادة 11.4 في المئة منها، وهي أكبر نسبة هنا.

اعرض الحساب الكامل

كل ترتيب للانضمام يقود إلى قاعدة المقاطع

تحتاج المجموعة إلى الطريق حتى أبعد محطة فيها والعودة، ولا تكلفة لمجموعة خالية:

C(S)=2c\max_{j\in S}D_j\qquad C(\varnothing)=0

\begin{gathered}C(S)=2c\max_{j\in S}D_j \\ C(\varnothing)=0\end{gathered}

حيث

S

مجموعة من المحطات.

في كل ترتيب للانضمام تُحمَّل المحطة ما تضيفه إلى تكلفة الطريق عند انضمامها، ثم يُؤخذ المتوسط على جميع الترتيبات:

\phi_i=\frac{1}{n!}\sum_{\pi\in\Pi(N)}\left[C\!\left(P_i^\pi\cup\{i\}\right)-C\!\left(P_i^\pi\right)\right]

حيث

\phi_i

حصة المحطة بقيمة شابلي و

\pi

ترتيب للانضمام و

\Pi(N)

مجموعة جميع الترتيبات و

P_i^\pi

المحطات التي تسبقها في ذلك الترتيب.

المحطات التي تحتاج إلى المقطع هي الواقعة عنده أو بعده على الطريق:

N_k=\{k,k+1,\ldots,n\}\qquad |N_k|=n-k+1

\begin{gathered}N_k=\{k,k+1,\ldots,n\} \\ |N_k|=n-k+1\end{gathered}

حيث

N_k

مجموعة هذه المحطات.

أول من ينضم من هذه المحطات هو وحده من يضيف المقطع إلى الفاتورة، ولكل منها فرصة متساوية في أن تكون الأولى مهما كان ترتيب المحطات الأقرب إلى المستودع:

\Pr\!\left(P_i^\pi\cap N_k=\varnothing\right)=\frac{1}{n-k+1}\qquad i\ge k

\begin{gathered}\Pr\!\left(P_i^\pi\cap N_k=\varnothing\right)=\frac{1}{n-k+1} \\ i\ge k\end{gathered}

لا تضيف المحطة مقطعًا يقع بعدها، ولكل مقطع تحتاج إليه تُضرب تكلفة ذهابه وعودته في فرصة أن تكون أول من يحتاج إليه، ثم تُجمع المتوسطات:

\phi_i=\sum_{k=1}^{i}2c\,g_k\,\frac{1}{n-k+1}=x_i

وهذه هي قاعدة المقاطع نفسها.

عدد الترتيبات المتساوية الوزن للمحطات الخمس في المثال المحسوب:

5!=120

يُجمع ما تضيفه كل محطة من تكلفة على تلك الترتيبات ويُقسم على عددها:

\begin{gathered}(\phi_1,\ldots,\phi_5)=\frac{1}{120}(480,780,3180,3780,4980)\\(\phi_1,\ldots,\phi_5)=(4,6.5,26.5,31.5,41.5)\end{gathered}

فيستعيد المتوسط الحصص الخمس المحسوبة، لا مجموع الفاتورة وحده.

ما الذي يحرّكه كل مُدخل

المسافات وعدد المحطات تحرّك الحصص ومن يدفع أكثر بالمسافة، فإن صارت المسافة الثالثة 20 كيلومترًا خرجت المحطة الرابعة من هذه المجموعة.

تكلفة الكيلومتر الثابتة تغيّر كل المبالغ بالنسبة نفسها:

e_i(\lambda c)=\lambda\, e_i(c)

حيث

\lambda

معامل التغيير.

ما لا يحسبه هذا النموذج

اختيار المسار أو شبكة طرق متفرعة، فالطريق واحد وجولته ذهاب وعودة.

التعرفة وحدود الطاقة واختيار المحطات المخدومة.

زمن السير والانتظار وساعات السائق.

المصدر

تقاسم تكلفة الطريق وقيمة شابلي وحد التكلفة المنفردة مشروحة في Hervé Moulin, Fair Division and Collective Welfare.

المقياس: المبالغ والمسافات إلى منزلتين
الأساس: مسافات مكتوبة بترتيب الطريق، وتكلفة الكيلومتر ثابتة عند 1 ذهابًا
إصدار النموذج: 1.0.0

يُطبع السجل كاملًا، ويستطيع متصفحك حفظه بصيغة PDF بدل طباعته.

المقارنة هنا بين قاعدتين لتقاسم تكلفة الطريق الذي تصفه، ولا تضع تعرفة ولا تختار المسار ولا المحطات التي تُخدم.