مناقص إضافي: مورد رابع يفعل أكثر من أفضل سقف للسعر

ثلاثة موردين بتكاليف من 80 إلى 120 أمام بديل بسعر 130. يحقق سقف 105 وفرًا 30.40، ومورد رابع بلا سقف يحقق 34.00. وعند تكلفة 90 يخفض منافس إضافي العطاء من 100.00 إلى 97.50 والهامش المتوقع من 5.63 إلى 3.16.

نتيجة مباشرة

مع 3 مناقصين يرفع سقف 105 الوفر المتوقع من 30.00 إلى 30.40، ومناقص إضافي يرفعه إلى 34.00.

السعر المتوقع بلا سقف100.00
الوفر بلا سقف30.00
أفضل سقف للسعر105.00
الوفر مع السقف30.40
الوفر مع مناقص إضافي34.00

يتفوق مناقص إضافي حقيقي على أفضل سقف عند كل عدد ما دامت التكاليف خاصة، وقد تنعكس النتيجة مع تكلفة مشتركة مجهولة.

المعطيات

مقعدك: المشتري

جرّب مناقصة

يقدّر موردو الصيانة نطاق العمل نفسه بتكاليف مختلفة للعمالة والتعاقد من الباطن.

الحد الأدنى للتكلفة: الحد الأدنى للتكلفة80
كل حد من 0.01 إلى 1,000,000,000، بوحدة سعر واحدة.
الحد الأعلى للتكلفة: الحد الأعلى للتكلفة120
عدد الموردين المتقدمين: عدد الموردين المتقدمين3
عدد صحيح من 1 إلى 8 لموردين يتقدمون فعلًا.
سعر البديل: سعر البديل130
ما تدفعه إن لم يُقبل أي عطاء، وهو أعلى من الحد الأدنى للتكلفة.
التكاليف: خاصة بكل مورد ومستقلة، وتتوزع بالتساوي على النطاق.
الترسية: يفوز أقل عطاء.
التقدم: يقدّم كل مورد عطاءه كما يقتضي الحساب.
بلا سقف: يقبل المشتري أي عطاء لا يتجاوز سعر البديل.

مناقص إضافي وسقف السعر

بلا سقفأفضل سقف

كل درجة تغيّر العدد وحده، وتقرأ العلامة الوفر بلا سقف أولًا ثم مع أفضل سقف.

تعرض الصفحة ما تفعله آلية وفق قواعد معلنة، ولا تقول شيئًا عن أي نظام للمشتريات العامة. والتكاليف وسعر البديل تقديراتك أنت، ولا توصية هنا بعدد ولا بعطاء ولا بسقف للسعر.

كل عدد من 1 إلى 8

العدد	السعر المتوقع	الوفر بلا سقف	الوفر مع أفضل سقف	زيادة الوفر بمناقص إضافي
1	130.00	0.00	15.63	23.33
2	106.67	23.33	24.74	6.67
3المكتوب	100.00	30.00	30.40	4.00
4	96.00	34.00	34.12	2.67
5	93.33	36.67	36.70	1.90
6	91.43	38.57	38.58	1.43
7	90.00	40.00	40.00	1.11
8	88.89	41.11	41.11	0.89

خطوات الحساب

الآلية

قد يترك سقف السعر المشتري أمام بديله، أما المناقص الإضافي الحقيقي فيغيّر التنافس في التكلفة نفسه، والوفر المتوقع يجمع حالات الشراء وحالات الرجوع إلى البديل.

التوزيع المشترك للتكلفة هو:

C\sim U[L,H]

حيث

C

تكلفة المورد الخاصة و

L

الحد الأدنى و

H

الحد الأعلى.

مع مناقصين على الأقل وسعر بديل عند الحد الأعلى للنطاق أو فوقه، يكون السعر المتوقع:

E[p]=L+\frac{2(H-L)}{n+1}\quad(n\ge2,\ v\ge H)

\begin{gathered}E[p]=L+\frac{2(H-L)}{n+1} \\ (n\ge2,\ v\ge H)\end{gathered}

حيث

p

السعر المدفوع و

n

عدد المناقصين و

v

سعر البديل.

يُقاس الوفر بالنسبة إلى البديل:

S_0(n)=v-E[p]\qquad S_0(1)=0

\begin{gathered}S_0(n)=v-E[p] \\ S_0(1)=0\end{gathered}

حيث

S_0

الوفر المتوقع دون سقف مستقل.

تعطي التكلفة الافتراضية في التوزيع المنتظم هذا السقف:

r^*=\frac{v+L}{2}

حيث

r^*

العتبة المثلى داخل نطاق التكلفة.

مع مناقصين على الأقل، يكون الوفر مع السقف:

S(n,r)=vP(c_{(1)}\le r)-E[\min(c_{(2)},r)\mathbf1_{\{c_{(1)}\le r\}}]

حيث

S

الوفر المتوقع مع سقف و

r

سقف السعر و

c_{(1)}

أقل تكلفة و

c_{(2)}

ثاني أقل تكلفة.

مع مناقص واحد يكون السقف هو المبلغ المدفوع إن سمحت تكلفته بالشراء:

S(1,r)=(v-r)F(r)

حيث

F

التوزيع التراكمي للتكلفة.

إن كان سعر البديل داخل النطاق، يبقى حد القبول نافذًا دون سقف مستقل:

S_0(n)=S(n,v)\quad(n\ge2)\qquad E[p]=v-S_0(n)

\begin{gathered}S_0(n)=S(n,v) \\ (n\ge2) \\ E[p]=v-S_0(n)\end{gathered}

ويشمل السعر المتوقع الرجوع إلى البديل حين لا تسمح أي تكلفة بالشراء.

مثال محسوب

يغيّر السقف احتمال الشراء والمبلغ المدفوع معًا، ويزيد المورد الإضافي الوفر بأكثر مما يزيده ذلك السقف.

عند تكاليف من 80 إلى 120 مع 3 مناقصين، يكون السعر المتوقع:
$E[p]=80+\frac{2(120-80)}{3+1}=100$
وبالنسبة إلى سعر البديل 130، يكون الوفر:
$S_0(3)=130-100=30.00$
يعطي أفضل سقف وفرًا يُقرّب إلى 30.40:
$r^*=\frac{130+80}{2}=105\qquad S(3,105)=30.3955078125$ $\begin{gathered}r^*=\frac{130+80}{2}=105 \\ S(3,105)=30.3955078125\end{gathered}$
ويعطي مناقص رابع بلا سقف:
$S_0(4)=130-\left(80+\frac{80}{5}\right)=34.00$

اعرض الحساب الكامل

ترتيب التكاليف

داخل النطاق، يكون التوزيع والكثافة:

F(x)=\frac{x-L}{H-L}\qquad f(x)=\frac1{H-L}\quad(L\le x\le H)

\begin{gathered}F(x)=\frac{x-L}{H-L} \\ f(x)=\frac1{H-L} \\ (L\le x\le H)\end{gathered}

هنا

x

تكلفة يجري عليها التكامل و

f

كثافتها. التوزيع التراكمي صفر تحت النطاق وواحد فوقه.

كثافة ثاني أقل تكلفة هي:

g_2(x)=n(n-1)F(x)(1-F(x))^{n-2}f(x)

حيث

g_2

كثافة إحصاء الترتيب هذا.

يتبع متوسطه من التكامل:

E[c_{(2)}]=\int_L^H xg_2(x)\,dx=L+\frac{2(H-L)}{n+1}

تُفصل الحالات التي تسمح فيها تكلفتان على الأقل بالشراء عن الحالات التي تسمح فيها تكلفة واحدة فقط:

S(n,r)=\int_L^{\min(r,H)}(v-x)g_2(x)\,dx+(v-r)nF(r)(1-F(r))^{n-1}

يدفع الحد الأخير سقف السعر حين يتأهل مورد واحد فقط.

ويُحوَّل النطاق إلى مقياس موحد:

D=H-L\qquad u=F(r)\qquad q=1-u

\begin{gathered}D=H-L \\ u=F(r) \\ q=1-u\end{gathered}

حيث

D

اتساع نطاق التكلفة و

u

النسبة تحت السقف و

q

النسبة فوقه.

إذا كان السقف داخل النطاق، يعطي التكامل:

S(n,r)=(v-L)(1-q^n)-\frac{2D}{n+1}\left(1-(n+1)q^n+nq^{n+1}\right)\quad(L\le r\le H)

\begin{gathered}S(n,r)=(v-L)(1-q^n)-\frac{2D}{n+1}\left(1-(n+1)q^n+nq^{n+1}\right) \\ (L\le r\le H)\end{gathered}

ينفّذ الحساب التكامل نفسه بجمع منتهٍ لحدود موجبة للحفاظ على الدقة قرب الحد الأدنى.

لماذا هذا السقف

تضيف التكلفة الافتراضية للمشتري أثر التوزيع إلى التكلفة عبر الكثافة:

\psi(x)=x+\frac{F(x)}{f(x)}=2x-L

حيث

\psi

التكلفة الافتراضية.

يبقى الشراء مجديًا حتى تبلغ التكلفة الافتراضية سعر البديل:

\psi(r^*)=v\qquad r^*=\frac{v+L}{2}

\begin{gathered}\psi(r^*)=v \\ r^*=\frac{v+L}{2}\end{gathered}

ولا يدخل عدد المناقصين في تلك العتبة.

مع مناقص واحد، تُحصر العتبة التي تتجاوز النطاق عند أعلى تكلفة:

r^*_{1}=\min\left(H,\frac{v+L}{2}\right)

حيث

r^*_{1}

أفضل سقف لمناقص منفرد. ومع مناقصين أو أكثر تعطي كل السقوف عند الحد الأعلى أو فوقه الوفر نفسه، فيمكن أن تبقى العتبة المعروضة فوق النطاق.

من أين يأتي التظليل

يمكن للمورد أن يتقدم كما لو كانت له تكلفة أخرى:

\Pi(z;c)=(b(z)-c)(1-F(z))^{n-1}

حيث

\Pi

هامشه المتوقع من ذلك الانحراف و

z

التكلفة التي يحاكيها و

c

تكلفته الفعلية و

b

عطاء التوازن.

عند تكلفته الفعلية تكون المشتقة الأولى بالنسبة إلى تلك المحاكاة صفرًا:

b'(c)(1-F(c))^{n-1}=(b(c)-c)(n-1)(1-F(c))^{n-2}f(c)

تعطي إعادة الترتيب مشتقة هامش التوازن:

\frac{d}{dc}\left[(b(c)-c)(1-F(c))^{n-1}\right]=-(1-F(c))^{n-1}

ويُكامَل حتى أعلى تكلفة حيث يكون الهامش صفرًا:

b(c)=c+\frac{\int_c^H(1-F(t))^{n-1}\,dt}{(1-F(c))^{n-1}}=c+\frac{H-c}{n}

هنا

t

متغير التكامل. عند أعلى تكلفة يساوي العطاء الحدي التكلفة، مع تظليل صفري واحتمال صفري لأن يكون الأقل أمام منافس.

يعطي متوسط العطاء الفائز المبلغ المتوقع نفسه لثاني أقل تكلفة:

E[b(c_{(1)})]=L+\frac{2(H-L)}{n+1}=E[c_{(2)}]

تفسّر هذه الحالة من تكافؤ الإيراد لماذا يُقرأ سعر المشتري وعطاء المناقص من مناقصة التكاليف الخاصة نفسها حين لا يقيّدها حد القبول.

المقارنة وحدودها

تقارن نتيجة القيم الخاصة إيراد البائع مع مناقص إضافي ودون سعر احتياطي بإيراده مع أفضل سعر احتياطي والعدد الأصلي، وتقابلها قراءة وفر المشتري:

R_{n+1}(0)\ge R_n(\rho^*)\qquad S_0(n+1)\ge S(n,r^*)

\begin{gathered}R_{n+1}(0)\ge R_n(\rho^*) \\ S_0(n+1)\ge S(n,r^*)\end{gathered}

حيث

R

إيراد البائع المتوقع و

\rho^*

أفضل سعر احتياطي له.

تحتاج المقارنة إلى قيم خاصة مستقلة وتوزيع واحد لمناقصين حقيقيين. وفي قراءة المشتري هذه يلزم أن يغطي سعر البديل نطاق التكلفة كله. وقد يتفوق السقف داخل النطاق كما تظهر القراءة الحية. ولا تسعّر المقارنة جهد جذب مناقص أو تتنبأ بالدخول.

قد تعكس قيمة مشتركة مجهولة النتيجة

في مثال للقيمة المشتركة تكون القيمة أكبر 3 إشارات، فإن لم يكن في الميدان إلا مناقص غير مطّلع كان إيراد البائع المتوقع أول هذه المقادير، وإن واجه مناقصين مطّلعين عددهم 1 ثم 2 ثم 3 كانت المقادير الثلاثة التالية بالترتيب:

\frac9{12},\quad\frac8{12},\quad\frac7{12},\quad\frac6{12}

\begin{gathered}\frac9{12}, \\ \frac8{12}, \\ \frac7{12}, \\ \frac6{12}\end{gathered}

تزيد المنافسة المطّلعة حذر المناقص غير المطّلع من الفوز، فينخفض الإيراد. ويوضح مثال البيع هذا حدود مناقصة التكاليف الخاصة المعروضة هنا.

المصادر

Paul Milgrom, Putting Auction Theory to Work
Paul Klemperer, Auctions: Theory and Practice
Tim Roughgarden, Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory

المقياس: أعداد صحيحة، ومبالغ إلى منزلتين مع صيغة علمية للمبالغ الكبيرة جدًا، واحتمالات الجدول إلى نسب مئوية صحيحة
الأساس: تكاليف خاصة مستقلة بتوزيع منتظم، ومناقصون حقيقيون وعطاءات توازن
إصدار النموذج: 1.0.0

يُطبع السجل كاملًا، ويستطيع متصفحك حفظه بصيغة PDF بدل طباعته.

يقرأ النموذج افتراضات معلنة وتقديراتك أنت، ولا يتنبأ بنتيجة مناقصة، ولا يوصي بعدد مناقصين ولا بعطاء ولا بسقف للسعر.