رسم مقلوب المعدل: الخلط التام مستطيل، والجريان الدافع المساحة تحته

المساحة تحت منحنى المعدل بين تحوّلين هي حجم الجريان الدافع المثالي، 3.70 m³ في أرقام المثال، أما المستطيل القائم على معدل المخرج فهو حجم الخلط التام المثالي عند 8.00. واقرأ النقاط نفسها بالترتيب المعكوس فلا تتحرك المساحة ويهبط المستطيل إلى 1.60، لأن شكل المنحنى هو ما يقرر لا اسم المفاعل.

نتيجة مباشرة

على المدى الذي كتبته يحتاج الجريان الدافع المثالي إلى 3.70 m³ ويحتاج الخلط التام المثالي إلى 8.00 m³.

مدى التحوّل0.0% إلى 80.0%
نسبة الحجمين2.16×
ما يزيده المستطيل4.30 m³

والوعاء تام الخلط يعمل كله عند معدل مخرجه، بينما تجمع المساحة المعدلات الأسرع على طول الطريق.

جرّب حالة

تغذية المادة المتفاعلة المرجعيةkmol/h

5 نقاط، و4 شرائح

النقطة 1

نسبة التحوّل%

تبقى دون 20.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر التالي، فالنقاط تُقرأ بالترتيب، ولا تتجاوز أي نقطة النقطة التي بعدها.

معدل الاستهلاكkmol/(m³ h)

يبقى المعدل عند 0.1 أو أعلى، وارتفاع المنحنى هو التغذية مقسومة عليه. والمعدل الصفري حدّ لا رقم صغير. فالتحوّل الكامل لتفاعل موجب الرتبة، أو الاتزان في تفاعل عكوس، يحتاج حجمًا بلا نهاية، ولا يظهر له رسم.

$\frac{60.0}{30.0}=2.00\,\mathrm{m}^3$

النقطة 2

نسبة التحوّل%

تبقى فوق 0.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر السابق.

تبقى دون 40.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر التالي، فالنقاط تُقرأ بالترتيب، ولا تتجاوز أي نقطة النقطة التي بعدها.

معدل الاستهلاكkmol/(m³ h)

$\frac{60.0}{24.0}=2.50\,\mathrm{m}^3$

النقطة 3

نسبة التحوّل%

تبقى فوق 20.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر السابق.

تبقى دون 60.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر التالي، فالنقاط تُقرأ بالترتيب، ولا تتجاوز أي نقطة النقطة التي بعدها.

معدل الاستهلاكkmol/(m³ h)

$\frac{60.0}{15.0}=4.00\,\mathrm{m}^3$

النقطة 4

نسبة التحوّل%

تبقى فوق 40.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر السابق.

تبقى دون 80.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر التالي، فالنقاط تُقرأ بالترتيب، ولا تتجاوز أي نقطة النقطة التي بعدها.

معدل الاستهلاكkmol/(m³ h)

$\frac{60.0}{10.0}=6.00\,\mathrm{m}^3$

النقطة 5

نسبة التحوّل%

تبقى فوق 60.0%، وهي نسبة التحوّل في السطر السابق.

معدل الاستهلاكkmol/(m³ h)

$\frac{60.0}{6.0}=10.00\,\mathrm{m}^3$

حجم الجريان الدافع المثالي	3.70 m³
حجم الخلط التام المثالي	8.00 m³
حجم المستطيل ناقص حجم المساحة	4.30 m³
نسبة الحجمين	2.16×
مدى التحوّل	0.0% إلى 80.0%
أكبر شريحة منفردة	1.60 m³, 43.24%

لا يحمل هذا الرسم إلا شيئًا واحدًا، معدلًا كتبته مقابل تحوّل كتبته. وأربع آليات تحدد حجم المفاعل الحقيقي غائبة عنه عن قصد، وتسميتها وصف لما يغطيه الحساب، لا تحفظ.

الحرارة غائبة، فتُقرأ نقاط المعدل كأن كل واحدة منها تنتمي إلى الحالة الحرارية نفسها، والتفاعل الذي يسخّن محتوياته أو يبرّدها ليس له منحنى معدل واحد. والضغط غائب، فلا شيء هنا يفقد قوة دافعة على امتداد حشوة أو أنبوب. والخلط غير المثالي غير ممثَّل، فالوعاء الحقيقي ليس جريانًا دافعًا مثاليًا ولا خلطًا تامًا مثاليًا. والانتقال غائب، فلا شيء هنا ينتظر بلوغ سطح حفّاز أو حدّ طور قبل أن يتفاعل.

وما بقي دقيق ويستحق أن يُؤخذ به، فهذان هما الحجمان المثاليان للنقاط التي كتبتها، والأشكال على الرسم هي الأشكال التي جُمعت، وكل خطوة بينهما حساب يمكنك التحقق منه.

يؤخذ الجريان الدافع على أنه بلا خلط محوري، فتتفاعل كل شريحة عند معدلها الموضعي. ويؤخذ الخلط التام على أنه حالة واحدة موحّدة تساوي المخرج، فيتفاعل الحجم كله عند معدل المخرج. وكلاهما افتراض عن نمط التلامس بين المواد، وليس أي منهما قولًا عن وعاء حقيقي.

المحور الأفقي: نسبة تحوّل المتفاعل المرجعي، على المدى الذي كتبته ولا أوسع منه
المحور الرأسي: تغذية المادة المتفاعلة المرجعية مقسومة على معدل الاستهلاك، بالمتر المكعب
الوحدات: متر مكعب بمنزلتين عشريتين، والمعدلات ونسب التحوّل المكتوبة بمنزلة عشرية واحدة، وهي أيضًا خطوة الإدخال
الافتراضات: المساحة بقاعدة شبه المنحرف بين النقاط المتتالية بلا تنعيم، والمستطيل يقوم على ارتفاع المخرج وحده، والحرارة والضغط والخلط والانتقال غائبة

لوحات ثابتة

حتى 20.0%

حتى 40.0%

حتى 60.0%

حتى 80.0%

من أين جاءت المساحة

الشريحة	الارتفاعان، m³	الحجم، m³	الحصة
0.0 إلى 20.0%	2.00, 2.50	0.45	12.16%
20.0 إلى 40.0%	2.50, 4.00	0.65	17.57%
40.0 إلى 60.0%	4.00, 6.00	1.00	27.03%
60.0 إلى 80.0%	6.00, 10.00	1.60	43.24%
المجموع		3.70	100.00%

لماذا تعطي النقاط نفسها حجمين

المحور الرأسي حجم في ذاته. فالتغذية بالكيلومول في الساعة، والمعدل بالكيلومول لكل متر مكعب في الساعة، وقسمة الأولى على الثاني تعطي مترًا مكعبًا. ولذلك يكون كل شكل مرسوم على هذين المحورين بالمتر المكعب من غير تحويل. وهذا هو سبب وجود الرسم كله، ويستحق تحققًا واحدًا بيدك قبل قراءة أي شيء آخر في الصفحة.

يُبنى حجم الجريان الدافع شريحة بعد شريحة. كل شريحة من التحوّل تكلّف ارتفاعها الموضعي، وتُوصل الارتفاعات بقطع مستقيمة لأن هذا ما تفترضه قاعدة شبه المنحرف، والمجموع هو المساحة تحتها. والشريحة قرب المدخل، حيث المعدل سريع، تحتاج حجمًا قليلًا، والشريحة قرب المخرج، حيث المعدل بطيء، تحتاج حجمًا كبيرًا.

أما الخلط التام فيأخذ حجمه كله عند ارتفاع المخرج، فكل موضع في الوعاء تام الخلط عند حالة المخرج، ويُشترى تغيّر التحوّل كله عند ارتفاع المخرج، والشكل الذي يصنعه ذلك مستطيل. فحين يرتفع المنحنى يكون ذلك الارتفاع أعلى ارتفاع عليه ويقع المستطيل فوق المساحة، وحين يهبط المنحنى يكون أدنى ارتفاع ويقع المستطيل تحتها.

النسبة ليست ترتيبًا

النسبة تقارن حجمين مثاليين عند تحوّل مستهدف واحد على منحنى واحد، ولا تفاضل بين نوعين من المفاعلات.

وفي الحالة الثالثة التغذية نفسها، والمدى نفسه، والمعدلات الخمسة نفسها، والشرائح الأربع نفسها، بترتيب معكوس. فلا تتحرك المساحة، لأن أشباه المنحرف الأربعة نفسها مجموعة بالمقلوب تعطي المجموع نفسه. أما المستطيل فينزل من 8.00 إلى 1.60، أي إلى الخُمس، لأنه يقوم على ارتفاع واحد كان أكبر الارتفاعات وصار أصغرها. فلم يقرر اسم المفاعل شيئًا، وقرر شكل المنحنى كل شيء، ولهذا يلزم إدخال نقاط لا تفاعل.

وتزيل الحالة الرابعة حتى ذلك. فالمعدل الذي يهبط ثم يعود لا يبقي أي قاعدة ترتيب، إذ تقرأ النسبة 2.00 عند 80% وتقرأ غير ذلك عند 40%، ولا يقول أي من الرقمين شيئًا عن الحالات بينهما. فذلك سؤال عن المنحنى كله وعن معدات قائمة بالفعل، والإبلاغ هنا عن شريحة واحدة في كل مرة.

خطوات الحساب

المقياس: تشترك اللوحات الأربع الثابتة في مقياس واحد لا يتحرك، من 0.0% إلى 80.0% عرضًا ومن 0.00 إلى 11.00 m³ ارتفاعًا، بينما يتغير مقياس الرسم المباشر فوقها مع ما تكتبه
الأساس: متفاعل مرجعي واحد، عند نسب التحوّل والمعدلات التي كتبتها، والحجمان محسوبان بين أول نقطة كتبتها وآخرها
إصدار النموذج: 1.0

المعادلة بالكلمات

المحور الرأسي حجم في ذاته. التغذية مقسومة على المعدل $\frac{F_{A0}}{-r_A}$ هي $\frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{h}} \div \frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}}$ ، والناتج $\mathrm{m}^3$ . وكل ارتفاع على الرسم حجم، فتكون كل مساحة وكل مستطيل عليه حجمًا أيضًا، ولا يلزم تحويل بعد تلك القسمة.
الجريان الدافع هو المساحة المجموعة كأشباه منحرف. حجم الشريحة بين نقطتين متتاليتين هو تغيّر التحوّل مضروبًا في متوسط الارتفاعين، وحجم الجريان الدافع هو مجموع تلك الشرائح، ولكل واحدة سطر يمكن التحقق منه. $\frac{\Delta X_i(g_i+g_{i+1})}{2}$
الخلط التام مستطيل قائم على ارتفاع المخرج. العرض هو تغيّر التحوّل عبر الوعاء والارتفاع هو ارتفاع آخر نقطة كتبتها. وعندما لا يبدأ التحوّل من صفر يكون العرض هو التغيّر لا رقم التحوّل الأخير. $\Delta X \times g_n$
القطع المستقيمة هي طريقة الحساب. تصل قاعدة شبه المنحرف بين النقاط المتتالية بقطع مستقيمة، لذلك تكون المنطقة المظللة هي ما جُمع فعلًا. أما المنحنى المنعّم فكان سيظلل مساحة لم تُجمع أصلًا، ولهذا لا يُرسم.
النسبة هي حجم الخلط التام مقسومًا على حجم الجريان الدافع عند هدف واحد. $\frac{V_M}{V_P}$ ترتفع مع الهدف حين يصعد المنحنى مع التحوّل، وتهبط تحت 1 حين ينزل المنحنى، ولا يكون لها اتجاه ثابت على منحنى ينعطف، فهي نتيجة للنقاط وتُعرض بلا ترتيب.

g = \frac{F_{A0}}{-r_A}

حيث

g

الارتفاع، و

F_{A0}

تغذية المادة المتفاعلة المرجعية، و

-r_A

معدل الاستهلاك.

V_P=\sum_i\frac{\Delta X_i(g_i+g_{i+1})}{2}

حيث

V_P

حجم الجريان الدافع المثالي، و

i

فهرس النقطة، و

\Delta X_i

تغيّر التحوّل، و

g_i

ارتفاع النقطة.

V_M = \Delta X \times g_n

حيث

V_M

حجم الخلط التام المثالي، و

\Delta X

تغيّر التحوّل عبر الوعاء، و

g_n

ارتفاع المخرج.

R = \frac{V_M}{V_P}

حيث

R

نسبة الحجمين.

مثال محلول

التفاعل والتحويل الواحد

تدخل تغذية المادة المتفاعلة المرجعية بمعدل 60.0 $\frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{h}}$ ، وقد قيس معدل استهلاكه عند 5 نسب تحوّل وكُتبت النقاط، فيصبح كل معدل ارتفاعًا بقسمة واحدة.

يهبط المعدل مع ارتفاع التحوّل فيرتفع الارتفاع، ولا يدخل في الحساب شيء آخر عن التفاعل ولا حاجة إليه.

نسبة التحوّل	المعدل، $\frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{m}^3\,\mathrm{h}}$	$g$ ، $\mathrm{m}^3$
0.0%	30.0	2.00
20.0%	24.0	2.50
40.0%	15.0	4.00
60.0%	10.0	6.00
80.0%	6.0	10.00

الحالة A، المدى الكامل من 0.0% إلى 80.0%

هناك 4 أشباه منحرف، عرض كل واحد منها 20 نقطة مئوية من التحوّل.

الشريحة	الحساب	الحجم	الحصة
0.0 إلى 20.0%	$0.200 \times (2.00 + 2.50) \div 2$	0.45	12.16%
20.0 إلى 40.0%	$0.200 \times (2.50 + 4.00) \div 2$	0.65	17.57%
40.0 إلى 60.0%	$0.200 \times (4.00 + 6.00) \div 2$	1.00	27.03%
60.0 إلى 80.0%	$0.200 \times (6.00 + 10.00) \div 2$	1.60	43.24%
المجموع	$0.45 + 0.65 + 1.00 + 1.60$	3.70	100.00%

يبلغ حجم الجريان الدافع المثالي $3.70\ \mathrm{m}^3$ ، وحجم الخلط التام المثالي $0.800 \times 10.00 = 8.00 \mathrm{m}^3$ ، والمستطيل ناقص المساحة $8.00 - 3.70 = 4.30 \mathrm{m}^3$ ، ونسبة الحجمين $8.00 \div 3.70 = 2.16\times$ .

تأخذ آخر 20 نقطة مئوية من التحوّل 43.24% من حجم الجريان الدافع، والآلية نفسها تكبّر المستطيل، لأن المخرج هو موضع أبطأ معدل. والحجمان كلاهما يدفعان ثمن بطء المخرج، غير أن الخلط التام يدفعه على المدى كله.

الحالة B، المنحنى نفسه متوقفًا عند 60.0%

احذف النقطة الأخيرة، فتبقى 4 نقاط و3 شرائح ويبقى كل شيء آخر كما هو.

يبلغ حجم الجريان الدافع $0.45 + 0.65 + 1.00 = 2.10 \mathrm{m}^3$ ، وحجم الخلط التام $0.600 \times 6.00 = 3.60 \mathrm{m}^3$ ، والفارق $1.50\ \mathrm{m}^3$ والنسبة $1.71\times$ .

هبطت النسبة من $2.16\times$ إلى $1.71\times$ ولم يتغير أي معدل مكتوب، وإنما تغيّر طرف المدى، فالمستطيل يقوم الآن على 6.00 بدل 10.00، أما الشريحة التي حملت 43.24% من الحجم فلم تعد ضمن المدى.

الحالة C، المعدلات الخمسة نفسها بترتيب معكوس

لا تتغير نسب التحوّل، والمعدلات 6.0 و10.0 و15.0 و24.0 و30.0، فتكون الارتفاعات 10.00 و6.00 و4.00 و2.50 و2.00.

الشريحة	الحساب	الحجم
0.0 إلى 20.0%	$0.200 \times (10.00 + 6.00) \div 2$	1.60
20.0 إلى 40.0%	$0.200 \times (6.00 + 4.00) \div 2$	1.00
40.0 إلى 60.0%	$0.200 \times (4.00 + 2.50) \div 2$	0.65
60.0 إلى 80.0%	$0.200 \times (2.50 + 2.00) \div 2$	0.45
المجموع		3.70

يبلغ حجم الجريان الدافع المثالي $3.70\ \mathrm{m}^3$ ، مطابقًا للحالة A حتى آخر خانة، ويبلغ حجم الخلط التام المثالي $1.60\ \mathrm{m}^3$ ، والمستطيل ناقص المساحة $-2.10 \mathrm{m}^3$ والنسبة $0.43\times$ . وحجم الخلط التام في الحالة A مقسومًا على هذا الحجم يساوي 5.00 بالضبط.

التغذية نفسها والمدى نفسه والمعدلات الخمسة نفسها والشرائح الأربع نفسها، وحجم مثالي لم يتحرك والآخر تحرك 5 أضعاف. فأشباه المنحرف الأربعة هي نفسها مقروءة بالمقلوب فلا يتغير مجموعها، أما المستطيل فيعتمد على ارتفاع واحد انتقل من 10.00 إلى 2.00.

الحالة D، معدل يهبط ثم يعود

المعدلات 6.0 و15.0 و30.0 و15.0 و6.0، فتكون الارتفاعات 10.00 و4.00 و2.00 و4.00 و10.00.

الشريحة	الحساب	الحجم
0.0 إلى 20.0%	$0.200 \times (10.00 + 4.00) \div 2$	1.40
20.0 إلى 40.0%	$0.200 \times (4.00 + 2.00) \div 2$	0.60
40.0 إلى 60.0%	$0.200 \times (2.00 + 4.00) \div 2$	0.60
60.0 إلى 80.0%	$0.200 \times (4.00 + 10.00) \div 2$	1.40
المجموع		4.00

يبلغ حجم الجريان الدافع المثالي $4.00\ \mathrm{m}^3$ ، وحجم الخلط التام المثالي $8.00\ \mathrm{m}^3$ ، ونسبة الحجمين $2.00\times$ بالضبط.

تقع النسبة بين $2.16\times$ في الحالة A و $0.43\times$ في الحالة C، ولا تقول أين يقع حدّ المرحلة، لأن المنحنى يهبط ثم يرتفع. وأكبر شريحة هي أول شريحة بحجم 1.40 لا الثانية.

حالة المدخل المتحوّل جزئيًا

خذ آخر 4 نقاط من الحالة A، فتكون أول نسبة تحوّل مكتوبة 20.0%، وتكون الارتفاعات 2.50 و4.00 و6.00 و10.00.

يبلغ حجم الجريان الدافع $0.65 + 1.00 + 1.60 = 3.25 \mathrm{m}^3$ ، وحجم الخلط التام $0.600 \times 10.00 = 6.00 \mathrm{m}^3$ ، والنسبة $1.85\times$ .

وعرض المستطيل هو تغيّر التحوّل، 0.600، لا التحوّل 0.800، فاستعمال التحوّل يعطي $8.00\ \mathrm{m}^3$ ويفترض مدى لم تكتبه.

تحقق بنفسك

اكتب 15.0 في صفوف المعدل الخمسة، فيصبح كل ارتفاع $4.00\ \mathrm{m}^3$ ، ويصبح الحجمان المثاليان $3.20\ \mathrm{m}^3$ ، وتقرأ النسبة $1.00\times$ ، ويتطابق الشكلان لأن الارتفاع الثابت يجعل تكلفة كل شريحة واحدة. ثم غيّر معدل الصف الأخير وحده من 15.0 إلى 30.0، فتتحرك المساحة قليلًا من 3.20 إلى 3.00 لأن شريحة واحدة فقط لامست النقطة، ويتحرك المستطيل كاملًا من 3.20 إلى 1.60 لأنه يقوم على ذلك الارتفاع وحده، وتقرأ النسبة $0.53\times$ . رقم واحد مكتوب ونتيجتان مختلفتان جدًا، وهذا الفرق هو ما تعرضه هذه الصفحة.

ما لا يحسبه هذا النموذج

لا توجد حركية ولا قانون معدل ولا رتبة ولا ثابت معدل ولا حرارة، والنقاط المكتوبة هي وصف التفاعل الوحيد. ويغيب أثر الحرارة والضغط على امتداد حشوة أو أنبوب، ويغيب الخلط الحقيقي وطرق زمن المكوث التي تصفه. ويغيب الانتقال إلى سطح حفّاز أو عبر حدّ طور، والانتقائية والنواتج الجانبية، وتدهور الحفّاز، وترتيب المراحل، وكل خاصية يحتاجها تصميم حقيقي. ولا تظهر التكلفة ولا السلامة ولا قابلية التشغيل ولا التحكم. ولا يميّز هذا الحساب بين خطأ القياس وسمة حقيقية في المنحنى.

رسم مقلوب المعدل، والنتيجة القائلة إن حجم الجريان الدافع المثالي هو المساحة تحته وإن حجم الخلط التام المثالي مستطيل عند معدل المخرج، مادة قياسية في هندسة التفاعلات وردت عند Octave Levenspiel في Chemical Reaction Engineering، الطبعة 3. ووردت كذلك عند H. Scott Fogler في Elements of Chemical Reaction Engineering. وتوصف تلك المادة هنا بكلمات مستقلة، ولا يُنقل من أي منهما نص ولا مسألة ولا شكل ولا جدول ولا بيانات، والمثال المحلول منشأ هنا. وليس هذا تصميم مفاعل، ولا يحمل حركية ولا بيانات خواص، ولا يستقرئ خارج النقاط التي تكتبها، ولا يختار معدات. والحجمان المثاليان نتيجة حسابية للنقاط التي كتبتها، وليسا قولًا بأن أحد نمطي التماس هو الذي يُبنى.

لوحات ثابتة

من أين جاءت المساحة

لماذا تعطي النقاط نفسها حجمين

النسبة ليست ترتيبًا

خطوات الحساب

المعادلة بالكلمات

مثال محلول

التفاعل والتحويل الواحد

الحالة A، المدى الكامل من 0.0% إلى 80.0%

الحالة B، المنحنى نفسه متوقفًا عند 60.0%

الحالة C، المعدلات الخمسة نفسها بترتيب معكوس

الحالة D، معدل يهبط ثم يعود

حالة المدخل المتحوّل جزئيًا

تحقق بنفسك

ما لا يحسبه هذا النموذج

صفحات مرتبطة