الأمثلة المضادة: أين تتوقف القاعدة، وأين تعود
تصحّ 24 قاعدة يشيع الاعتماد عليها في أكثر الحالات، وتقف كل واحدة منها هنا أمام أصغر حالة تكسرها. ثم تقف أمام الشرط الذي تعود عنده صحيحة، فتكون القراءة عن حدود القاعدة لا عن بطلانها.
صحّ كل جزء ولم يصحّ المجموع
تقاطع كل زوج ولب خال
العمليات
- القاعدة كما تُذكر
- إذا تقاطع كل زوج من المجموعات، اشتركت المجموعات كلها في عنصر واحد.
- أصغر ما يكسرها
S1 {a, b}
S2 {b, c}
S3 {a, c}
تقاطع الأزواج واللب المشترك {b} · {c} · {a} · ∅
لا تكسر مجموعتان العبارة، لأن تقاطعهما هو تقاطعهما المشترك من البداية، و3 مجموعات على 3 عناصر هي أصغر بناء يكسرها.
- أين تعود
عائلة منتهية من الفترات المغلقة على خط الأعداد الحقيقية.
تقاطع كل زوج من عائلة منتهية من الفترات على خط الأعداد الحقيقية يعني وجود تقاطع مشترك.
محسوب في هذه الصفحة
يقبل كل زوج حلًا ولا تقبله الدورة
الرياضيات
- القاعدة كما تُذكر
- إذا أمكن إرضاء كل زوج من قيود التكافؤ، أمكن إرضاء القيود الثلاثة معًا.
- أصغر ما يكسرها
القيود x xor y = 0 · y xor z = 0 · x xor z = 1
حلول كل زوج 2 · 2 · 2
قيمة xor للدورة 1
الحلول المشتركة 0
الدورة ذات الحواف الثلاث هي أصغر فحص مغلق لاتساق التكافؤ، وكل قيد منفرد أو زوج من القيود يقبل حلًا.
- أين تعود
قيمة xor حول كل دورة مغلقة تساوي صفرًا، وتحقق الغابة هذا الشرط لغياب الدورات.
يتسق الرسم الموسوم بالتكافؤ حين تساوي قيمة xor على كل دورة مغلقة صفرًا.
محسوب في هذه الصفحة
أسهم متوازنة ودورتان منفصلتان
اللوجستيات
- القاعدة كما تُذكر
- تساوي درجة الدخول والخروج عند كل رأس يضمن دورة أويلر موجهة واحدة.
- أصغر ما يكسرها
درجة كل رأس a: 1 وارد، 1 صادر · b: 1 وارد، 1 صادر · c: 1 وارد، 1 صادر · d: 1 وارد، 1 صادر
المكونات غير الموجهة {a, b} · {c, d}
المسارات المغلقة a → b → a · c → d → c
دورة أويلر واحدة لا
مع استبعاد الحلقات الذاتية يحتاج كل مكوّن متوازن غير تافه إلى رأسين، ولذلك يحتاج مكوّنان متوازنان منفصلان إلى 4 رؤوس.
- أين تعود
تتصل كل الرؤوس ذات الدرجة غير الصفرية في الرسم غير الموجه الكامن، وتتساوى درجتا الدخول والخروج عند كل رأس.
توازن الدرجات مع مكوّن واحد متصل ذي درجة غير صفرية هو الشرط الذي توجد عنده دورة أويلر موجهة.
نتيجة معروفة دورة أويلر، المنسوبة إلى ليونهارت أويلر
كل زوج مستقل والثلاثة ليست كذلك
الإحصاء
- القاعدة كما تُذكر
- الاستقلال الزوجي يعني الاستقلال المشترك.
- أصغر ما يكسرها
الثلاثيات المتساوية الاحتمال 000 · 011 · 101 · 110
احتمال كل ثلاثية 1/4
استقلال كل زوج نعم
استقلال الثلاثة معًا لا
تلزم 3 متغيرات على الأقل للفصل بين الاستقلال الزوجي والمشترك، وحالتان هما أصغر فضاء غير تافه.
- أين تعود
لا يوجد إلا متغيران عشوائيان، أو جرى إثبات التحليل الكامل للتوزيع المشترك على حدة.
يتطابق الاستقلال الزوجي والاستقلال المشترك عند وجود متغيرين فقط.
محسوب في هذه الصفحة
زيادتان تصبحان واحدة
العمليات
- القاعدة كما تُذكر
- زيادتان متزامنتان تقرآن ثم تجمعان ثم تكتبان تعطيان نتيجة زيادتين متسلسلتين.
- أصغر ما يكسرها
العمليات قراءة · قراءة · جمع · جمع · كتابة · كتابة
نتيجة التنفيذ المتسلسل 2
النتيجة المشتركة 1
الزيادة المفقودة 1
لا يستطيع عامل واحد محو تحديث عامل آخر، وعاملان وموضع مشترك واحد هما أصغر بناء يفقد زيادة.
- أين تعود
يكون كل تحديث كامل ذريًا أو متسلسلًا بقفل صحيح، فتتبع قيمة العداد ترتيبًا خطيًا.
تنتج عمليتا جمع ذريتان، أو عمليتان محميتان بقفل صحيح، المجموع المتسلسل.
المصدر Linearizability: A Correctness Condition for Concurrent Objects, ACM, 1990
كل مهمة تناسب منفردة ولا تناسب المجموعة
الجدولة
- القاعدة كما تُذكر
- إذا أدركت كل مهمة موعدها منفردة، أدركت المهمات كلها مواعيدها على آلة واحدة.
- أصغر ما يكسرها
المهمتان A: 1 بحلول 1 · B: 1 بحلول 1
كل مهمة تناسب منفردة نعم
اكتمال المهمة الثانية 2 مقابل موعد 1
تناسب المجموعة لا
المهمة الواحدة الممكنة منفردة تبقى ممكنة بوصفها المجموعة كلها، وتكفي مهمتان لتجاوز موعد مشترك.
- أين تعود
المهمات منتهية وغير قابلة للإيقاف وتبدأ إتاحتها عند الزمن 0، ولا يتجاوز زمن المعالجة المتراكم لأي مقدمة مرتبة بأقرب موعد ذلك الموعد.
تكون جدولة أقرب موعد أولًا ممكنة تحت هذه الشروط.
محسوب في هذه الصفحة
اختيارات الأغلبية تصنع دائرة
العمليات
- القاعدة كما تُذكر
- تفضيل الأغلبية بين كل زوج علاقة متعدية.
- أصغر ما يكسرها
ترتيبات المصوتين A > B > C · B > C > A · C > A > B
A > B 2 مقابل 1
B > C 2 مقابل 1
C > A 2 مقابل 1
علاقة الأغلبية A → B → C → A
تحتاج دورة أغلبية صارمة إلى 3 خيارات على الأقل، ويحتاج هذا البناء ذو الأغلبية الفردية إلى 3 مصوتين على الأقل.
- أين تعود
لناخبين منتهين فرديي العدد تفضيلات أحادية القمة على محور مشترك.
يكون ترتيب الأغلبية الزوجية متعديًا في هذا المجال المقيد تحت شروط النتيجة المعروفة.
نتيجة معروفة دورة كوندورسيه، المنسوبة إلى نيكولا دي كوندورسيه، ونتيجة بلاك للتفضيلات أحادية القمة، المنسوبة إلى دنكن بلاك
كتلتان مستقرتان وحلقة غير مستقرة
العمليات
- القاعدة كما تُذكر
- ربط الكتلة الديناميكية القياسية المستقرة من الرتبة الأولى والكسب الساكن المستقر في تغذية راجعة موجبة يحفظ الاستقرار.
- أصغر ما يكسرها
الكتلة الديناميكية G(s) = 2/(s + 1)
قطب الكتلة -1
حاصل ضرب الحلقة 2
قطب الحلقة المغلقة 1
كتلة ديناميكية مستقرة من الرتبة الأولى وكسب ساكن مستقر هما أصغر ربط بتغذية راجعة موجبة في النموذج المعلن.
- أين تعود
في عائلة التغذية الراجعة الموجبة المعلنة يكون tau موجبًا، ويكون الكسبان غير سالبين، ويكون حاصل k1 في k2 أقل من 1.
يكون قطب الحلقة المغلقة سالبًا وتكون الحلقة مستقرة تحت هذه الشروط.
محسوب في هذه الصفحة
اتفق الملخّص ولم يتفق ما يلخّصه
يثبت كل سجل هنا ملخصًا ويغير الحالة التي تحته. وأوضح حالة ليست بطاقة في هذا الرفّ، فقانونان لهما المتوسط نفسه والتباين نفسه ولهما يومان أسوأ مختلفان كثيرًا محسوبان كاملين باحتمالات دقيقة في درس العزوم نفسها.
مجاميع الصفوف والأعمدة بلا إسناد منفرد
العمليات
- القاعدة كما تُذكر
- المصفوفة غير السالبة التي تجمع صفوفها وأعمدتها إلى واحد هي إسناد منفرد، أي مصفوفة تبديل من صفر أو واحد.
- أصغر ما يكسرها
المصفوفة [0.5, 0.5] · [0.5, 0.5]
مجاميع الصفوف 1 · 1
مجاميع الأعمدة 1 · 1
مصفوفة تبديل من صفر أو واحد لا
لا تكون المصفوفة المزدوجة العشوائية ذات البعد 1 في 1 إلا [1]، والبعد 2 هو أول بعد يسمح بمزيج كسري صرف.
- أين تعود
تقتصر القيم على 0 أو 1، وهو ما يكافئ كون المصفوفة نقطة قصوى صحيحة.
المصفوفة المزدوجة العشوائية التي تقتصر قيمها على صفر أو واحد هي مصفوفة تبديل.
المصدر On the Birkhoff von Neumann theorem, Elsevier, 2018
الاشتراط يربط سببين مستقلين
الإحصاء
- القاعدة كما تُذكر
- يبقى X وY المستقلان كذلك بعد الاشتراط على الحدث ذي الاحتمال الموجب Z يساوي 1، حيث Z هو OR بينهما.
- أصغر ما يكسرها
احتمال حدث الشرط 3/4
P(X = 1, Y = 1 | Z = 1) 1/3
حاصل ضرب الهوامش المشروطة 4/9
مستقلان بعد الاشتراط لا
مدخلان ثنائيان وحدث اشتراط ثنائي واحد هي أصغر بنية غير تافهة لمصادم احتمالي.
- أين تعود
يكون حدث الاشتراط مستقلًا عن الزوج المشترك، أو يثبت الاستقلال المشروط على حدة في النموذج المشترك المعلن.
يحفظ الاشتراط على حدث مستقل عن الزوج توزيعهما المشترك واستقلالهما.
المصدر Causal diagrams for empirical research, Oxford University Press, 1995
الهوامش نفسها وجدولان مشتركان مختلفان
الإحصاء
- القاعدة كما تُذكر
- هوامش الصفوف والأعمدة تحدد الجدول المشترك.
- أصغر ما يكسرها
هوامش الصفوف والأعمدة 1/2 · 1/2
الجدول المشترك الأول [0.25, 0.25] · [0.25, 0.25]
محدد الجدول الأول 0
الجدول المشترك الثاني [0.5, 0] · [0, 0.5]
محدد الجدول الثاني 0.25
جدول 2 في 2 هو أصغر جدول تترك هوامشه الثابتة خلية مشتركة واحدة حرة.
- أين تعود
يكون الاستقلال معلنًا، أو يضاف اقتران آخر إلى الهوامش.
تساوي الخلية المشتركة 1,1 حاصل r في c تحت الاستقلال، وتحدد الهوامش الخلايا الأربع كلها.
محسوب في هذه الصفحة
فحصٌ عند نقطة لا يحسم المدى
يذكر كل سجل في هذه المجموعة نتيجة خرجت من عدد منته من الفحوص. والأداة التي تقرأ المسح، وسبب إمكان وقوع حد نظيف على جانبي نطاق لم تؤخذ منه عينة، محسوبان كاملين في درس المنطقة غير المفحوصة.
يبقى الطرفان تحت الحد ويفلت الوسط
الرياضيات
- القاعدة كما تُذكر
- إذا كانت الدالة عند الحد أو دونه في الطرفين، بقيت دونه بينهما.
- أصغر ما يكسرها
f(0) 1
f(1) 1
f(0.5) 2
تجاوز المنتصف 1
مشاهدتا الطرفين تقيمان المقدمة، ومشاهدة داخلية واحدة هي أصغر إضافة تستطيع كسرها.
- أين تعود
الدالة حقيقية القيم ومحدبة على فترة حقيقية مغلقة.
لا تتجاوز القيمة العظمى للدالة المحدبة على فترة أكبر قيمتي الطرفين.
المصدر Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004
مسح النقاط الداخلية المفحوصة بين الطرفين
- الافتراض
- النقاط الداخلية المفحوصة بين الطرفين
- القيم المفحوصة
- 0 إلى 8, 9, 1
- الجواب
- يبقى الحد قائمًا عند كل نقطة مفحوصة
- يثبت عبر
- 0 إلى 0
- أقرب تغير
- 1
- قراءة الحد
- لا يفحص المسح إلا القيم التي أدخلتها. وما بين قيمتين متجاورتين يبقى الجواب غير مفحوص، فاقرأ الحد على أنه مُلاحَظ لا مُثبَت.
لا تتغير الإشارة والجذر موجود
الرياضيات
- القاعدة كما تُذكر
- إذا حملت دالة متصلة الإشارة غير الصفرية نفسها عند طرفي فترة، فلا جذر لها داخلها.
- أصغر ما يكسرها
الفترة [0, 2]
قيم الطرفين 1 · 1
الجذر الداخلي 1 · رتبته 2
مشاهدتا الطرفين ونقطة داخلية واحدة هي أصغر نمط للمشاهدة، والرتبة 2 هي أدنى رتبة زوجية تلامس المحور بلا عبور.
- أين تعود
الدالة متصلة ورتيبة تمامًا على الفترة المغلقة المعلنة.
تستبعد قيمتان طرفيتان غير صفريتين لهما الإشارة نفسها جذرًا داخليًا لدالة متصلة ورتيبة تمامًا.
محسوب في هذه الصفحة
تعود طريقة نيوتن إلى نقطة البدء
الرياضيات
- القاعدة كما تُذكر
- يتقارب تكرار نيوتن كلما وجد جذر حقيقي.
- أصغر ما يكسرها
الدالة x³ − 2x + 2
التكرار 0 → 1 → 0
طول الدورة 2
الدورة غير التافهة ذات الخطوتين هي أقصر مدار عائد ليس نقطة ثابتة.
- أين تعود
تقع نقطة البدء قريبًا بما يكفي من جذر بسيط، وتصح فروض النعومة المحلية والمشتقة غير الصفرية.
يتقارب تكرار نيوتن محليًا تحت هذه الفروض المتحققة.
نتيجة معروفة طريقة نيوتن، المنسوبة إلى إسحاق نيوتن
زيادةٌ جعلت النتيجة أسوأ
مصوتون أدق وأغلبية أسوأ
الإحصاء
- القاعدة كما تُذكر
- أغلبية من 3 مصوتين لا تقل دقة عن كل مصوت حين يكون كل واحد أدق من المصادفة.
- أصغر ما يكسرها
دقة كل مصوّت 3/5
دقة الأغلبية المترابطة 2/5
دقة أغلبية مستقلة عند الدقة نفسها 81/125
الأغلبية دون المصادفة نعم
تحتاج الأغلبية الصارمة الفردية التي تختلف عن الفرد إلى 3 مصوتين، ويستعمل البناء هذا العدد الأدنى.
- أين تعود
المصوتون الثلاثة مستقلون ولهم دقة مشتركة q أكبر من 1/2 وأقل من 1.
تساوي دقة أغلبية 3 مصوتين مستقلين ذوي دقة مشتركة فوق النصف 3q تربيع ناقص 2q تكعيب، وتتجاوز q.
محسوب في هذه الصفحة
خيار ثالث يقلب نتيجتين
العمليات
- القاعدة كما تُذكر
- عند التطبيع بأدنى وأعلى قيمة لكل معيار ضمن مجموعة الخيارات الحالية، لا يستطيع خيار تهيمن عليه الخيارات القائمة قلب نتيجتيهما الموزونتين.
- أصغر ما يكسرها
الأوزان 3/5 · 2/5
قبل إضافة C A 3/5 · B 2/5 · A > B
بعد إضافة C A 35/55 · B 52/55 · B > A
التطبيع الحدان الأدنى والأعلى للخيارات الحالية
أصغر حالة يستطيع فيها بديل جديد تحريك مرجعي التطبيع وقلب ترتيب زوج قائم هي 3 بدائل ومعياران.
- أين تعود
تكون مراجع المعايير واتجاهات المنفعة والأوزان ثابتة من خارج مجموعة البدائل الحالية.
لا يغير إضافة بديل القيم المطبعة والنتائج الحسابية للبدائل القائمة مع المراجع والأوزان الخارجية الثابتة.
المصدر On a short coming of Saaty's method of analytic hierarchies, Elsevier, 1983 Rank reversal and normalization in multi criteria decision making, Wiley, 2021
وحدة احتياط تضيف نقطة تعطل
العمليات
- القاعدة كما تُذكر
- إضافة وحدة احتياط متوازية مع مفتاح تسلسلي مشترك مطلوب ترفع اعتمادية المهمة دائمًا.
- أصغر ما يكسرها
اعتمادية الوحدة والمفتاح 0.9 · 0.9
وحدة واحدة 0.9
وحدتان قبل المفتاح 0.99
وحدتان مع المفتاح 0.891
نقص الاعتمادية 0.009
وحدتان متوازيتان مع مفتاح تسلسلي مشترك مطلوب هي أصغر بنية تضيف احتياطًا ونقطة تعطل مشتركة جديدة.
- أين تعود
يكون المفتاح كامل الاعتمادية، وتكون أعطال الوحدتين مستقلة، ولا يضاف نمط تعطل تسلسلي آخر.
تساوي اعتمادية وحدتين متوازيتين 1 ناقص مربع 1 ناقص R مع مفتاح كامل وأعطال مستقلة، وهي أكبر من R حين تكون R بين 0 و1.
محسوب في هذه الصفحة
وصلة جديدة ترفع زمن كل مسار
اللوجستيات
- القاعدة كما تُذكر
- في توازن مستخدمين غير ذري، لا تستطيع وصلة عرضية بزمن سفر يساوي صفرًا رفع زمن السفر عند التوازن.
- أصغر ما يكسرها
الطلب وزمن الحافة الثابتة 4000 · 45
بلا الوصلة العرضية 65 دقيقة
مع الوصلة العرضية 80 دقيقة
أزمنة المسارات البديلة 85 · 85
الزيادة 15 دقيقة
مساران متوازيان من المصدر إلى المصب مع وصلة عرضية واحدة هي أصغر بنية في عائلة برايس المتماثلة المعلنة.
- أين تعود
تبقى تدفقات المسارات القائمة ثابتة، أو يعامل نموذج منفصل لأقل زمن كلي الوصلة الجديدة على أنها اختيارية.
يبقى التدفق القديم ممكنًا مع ثبات التدفقات. ولا تؤدي زيادة مجموعة التدفقات الممكنة إلى رفع أقل زمن كلي في النموذج المنفصل.
نتيجة معروفة مفارقة برايس، المنسوبة إلى ديتريش برايس
مسح زمن سفر الوصلة الجديدة
- الافتراض
- زمن سفر الوصلة الجديدة
- القيم المفحوصة
- 0 إلى 30, 7, 5
- الجواب
- المسارات بلا الوصلة أسرع
- يثبت عبر
- 0 إلى 20
- أقرب تغير
- 25
- قراءة الحد
- لا يفحص المسح إلا القيم التي أدخلتها. وما بين قيمتين متجاورتين يبقى الجواب غير مفحوص، فاقرأ الحد على أنه مُلاحَظ لا مُثبَت.
أفضل خطوة كل مرة لا تبلغ أفضل نهاية
أخذ أكبر فئة يستعمل قطعًا أكثر
اللوجستيات
- القاعدة كما تُذكر
- أخذ أكبر قطعة قابلة للاستعمال في كل مرة يقلل عدد القطع إلى الحد الأدنى.
- أصغر ما يكسرها
الفئات 1 · 3 · 4
أول إخفاق في المسح المدخل 6
الأكبر أولًا 4 + 1 + 1 · 3 قطع
أقل عدد من القطع 3 + 3 · 2 قطعتان
يثبت الحساب أن المبلغ 6 هو أول إخفاق للفئات 1 و3 و4 داخل المسح المدخل، ولا يدّعي أنه الأصغر بين جميع أنظمة الفئات.
- أين تعود
يكون نظام الفئات قد ثبت على حدة أنه قانوني للطريقة الجشعة. ومن الحالات الكافية أن تقسم كل فئة الفئة التي تليها.
تستعمل طريقة الأكبر أولًا أقل عدد من القطع في نظام فئات ثبت على حدة أنه قانوني لها.
محسوب في هذه الصفحة
مسح المبلغ المراد تكوينه
- الافتراض
- المبلغ المراد تكوينه
- القيم المفحوصة
- 1 إلى 30, 30, 1
- الجواب
- الأكبر أولًا يستعمل قطعًا أكثر
- يثبت عبر
- 6 إلى 6
- أقرب تغير
- 5 و 7
- قراءة الحد
- لا يفحص المسح إلا القيم التي أدخلتها. وما بين قيمتين متجاورتين يبقى الجواب غير مفحوص، فاقرأ الحد على أنه مُلاحَظ لا مُثبَت.
أقصر فترة تمنع عملًا أكثر
الجدولة
- القاعدة كما تُذكر
- اختيار أقصر فترة متوافقة في كل مرة يزيد عدد الفترات المختارة إلى الحد الأقصى.
- أصغر ما يكسرها
الفترات A [0, 3) · B [2, 4) · C [3, 6)
الأقصر أولًا B · 1
البديل المتوافق A, C · 2
عائلة متداخلة لا
يزول الفرق بحذف أي فترة، ومع فترتين على الأكثر لا تختار طريقة الأقصر أولًا عددًا أقل من أكبر مجموعة متوافقة.
- أين تعود
تكون عائلة الفترات متداخلة. وفي الفترات غير الموزونة غير المقيدة تصح قاعدة أبكر انتهاء، لا قاعدة أقصر مدة.
تصح طريقة أقصر مدة في عائلات الفترات المتداخلة، وتصح طريقة أبكر انتهاء في الفترات غير الموزونة غير المقيدة.
محسوب في هذه الصفحة
مسار أقصر مستقر يتغير لاحقًا
اللوجستيات
- القاعدة كما تُذكر
- تبقى نتيجة ديكسترا للهدف المستقر صحيحة مع حافة سالبة إذا لم توجد دورة سالبة.
- أصغر ما يكسرها
الحواف s → t: 1 · s → a: 2 · a → t: −2
الهدف المستقر 1
التحويلة اللاحقة 2 + (−2) = 0
دورة سالبة لا
تلزم 3 رؤوس لاستقرار هدف مباشر قبل اكتشاف تحويلة أرخص من حافتين، والرسم بلا دورات.
- أين تعود
الرسم منته وكل أوزان الحواف غير سالبة.
تكون مسافة ديكسترا المستقرة نهائية في رسم منته حين تكون أوزان الحواف كلها غير سالبة.
نتيجة معروفة خوارزمية ديكسترا لأقصر مسار، المنسوبة إلى إدسخر ديكسترا
العبارة مضبوطة والآلة ليست كذلك
ترتيب الجمع يغير المجموع
الرياضيات
- القاعدة كما تُذكر
- يعطي جمع binary64 النتيجة نفسها مهما تغير وضع الأقواس.
- أصغر ما يكسرها
المعاملات 2^53 · 1 · −2^53
(a + b) + c 0
a + (b + c) 1
المجموع الدقيق 1
تقارن خاصية التجميع وضعين للأقواس على 3 معاملات، وحذف أي معامل يلغي المقارنة.
- أين تعود
يكون الحساب بأعداد صحيحة أو كسرية دقيقة، أو تكون المعاملات أعدادًا صحيحة آمنة وتبقى المجاميع الوسيطة آمنة في التجميعين.
الجمع تجميعي في الحساب الدقيق، وكذلك للأعداد الصحيحة حين يبقى كل مجموع وسيط في التجميعين المسموحين داخل مدى العدد الصحيح الآمن.
محسوب في هذه الصفحة
خطوة أصغر تعطي مشتقة أسوأ
الرياضيات
- القاعدة كما تُذكر
- تعطي خطوة أصغر في الفرق الأمامي بصيغة binary64 للدالة exp عند x يساوي 1 مشتقة أدق دائمًا.
- أصغر ما يكسرها
الخطوة الأكبر 2^-26
خطأ الخطوة الأكبر 3.666088899123565e-8
الخطوة الأصغر 2^-54
تغيّر المدخل لا
خطأ الخطوة الأصغر 2.718281828459045
خطوتان مختلفتان هما أصغر مقارنة تستطيع قلب الادعاء بأن الدقة تتحسن رتيبًا.
- أين تعود
في binary64 تغير الخطوة قيمة المدخل وتحفظ طرحًا يمكن تمييزه، مع موازنة خطأ القطع وخطأ التقريب. وفي الحساب الحقيقي الدقيق لا تكون العبارة إلا حدًا تقاربيًا.
يقترب خارج القسمة الأمامي للدالة exp من المشتقة في الحساب الحقيقي الدقيق حين تقترب الخطوة الموجبة من الصفر.
محسوب في هذه الصفحة
مسح حجم الخطوة بوصفه قوة للعدد اثنين
- الافتراض
- حجم الخطوة بوصفه قوة للعدد اثنين
- القيم المفحوصة
- -54 إلى -24, 16, 2
- الجواب
- الخطوة الأكبر الثابتة أقرب
- يثبت عبر
- -54 إلى -30
- أقرب تغير
- -28
- قراءة الحد
- لا يفحص المسح إلا القيم التي أدخلتها. وما بين قيمتين متجاورتين يبقى الجواب غير مفحوص، فاقرأ الحد على أنه مُلاحَظ لا مُثبَت.
صيغة المعادلة التربيعية تفقد جذرًا
الرياضيات
- القاعدة كما تُذكر
- تحسب الصيغة المعتادة للمعادلة التربيعية الجذرين الحقيقيين بدقة نسبية متقاربة في binary64.
- أصغر ما يكسرها
كثيرة الحدود x² + 2^28x + 1
الجذور بالطريقة المباشرة 0 · -268435456
الجذور بالطريقة المستقرة -268435456 · -3.725290298461914e-9
بقايا حاصل الضرب -1 · 0
المعادلة التربيعية هي أقل درجة تحمل فرعين للصيغة، وهذه العائلة من المعاملات تعزل إلغاء قيمتين متقاربتين في binary64.
- أين تعود
يبقى المميز وفرع q المراعي للإلغاء والتحقق المحجّم داخل المدى، مع فرع منفصل للجذر المكرر.
حين لا يساوي q صفرًا، يحسب q على أنه −0.5 في مجموع b وإشارة b في الجذر التربيعي للمميز، ثم يحسب الجذران q على a وc على q.
المصدر What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic, ACM, 1991